7-4李雅普诺夫稳定定性分析.pptVIP

§7-4李雅普诺夫稳定性分析 李雅普诺夫意义下的稳定性 平衡状态：满足 的状态称为 平衡状态。 定义：设系统初始状态位于以平衡状态 为球心、 半径为δ的闭球域S(δ)内，即 若能使系统方程的解 在 的过程中， 都位于以为 球心、任意规定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 则称该 是稳定的，通常称为李雅普诺夫意义下的稳定性。 渐进稳定性 不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性， 且有 称此平衡状态是渐进稳定的。 大范围（全局）渐进稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且有渐进稳定性时，称此平衡状态是大范围渐进稳定的。 此时，δ→∞，S(δ)→∞，χ→∞， 由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛至 或其附近。 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程的解的特性来判断稳定性的方法，又称间接法。 线性定常系统的特征值判据 系统 渐进稳定的充要条件是：系统矩阵的全部特征值位于复平面的左半部，即 李雅普诺夫第二法（直接法） 根据古典力学的振动现象，若系统能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式是相当复杂的。李雅普诺夫提出，可虚构一个能量函数，后来被称为李雅普诺夫函数，记为 ； 若不显含t，则记为 。它是一个标量函数，考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用 或 表示。李雅普诺夫第二法利用V及 的符号特征，直接对平衡状态的稳定性作出判断，无需求出系统状态方程的解，故称直接法。 对于线性系统，通常用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。 标量函数定号性 正定性 标量函数 在域S中对所有非零状态（x≠0） 有 或 ，则称在域S内正定。如 是正定的。 负定性 标量函数 在域S中对所有非零状态（x≠0） 有 或 则称 在域S内负定。则 是正定的。 如 是负定的。 负（正）半定性 ，且 在域S内某些状态处有 ，而其它状态处均有 ，则称V(x)在域S内负（正）半定。 设V(x)为负半定，则-V(x)是正半定。 如 ，当 时 ；当 时， ，故V(x)为负半定，而 为正半定。 不定性 V(x)在域S内可正可负，则称V(x)不定。如 是不定的。 关于 正定性的提法是：标量函数 在域S中， 对于 及所有非零状态有 ，且 ，则称在域S内正定。 的其它定号性提法类同。 二次型函数是一类重要的标量函数，记以 式中P为对称矩阵，有 。显然满足 其定号性由赛尔维斯特准则判定。当P的各顺序主子行列式均大于零时，即 则V(x)正定，且称P为正定矩阵。 当P的各顺序主子行列式负、正相间时，即 则V(x)负定，且称P为负定矩阵。 ? 当主子行列式含有等于零的情况，则V(x)为正半定或负半定。 ? V(x)不属以上所有情况的，不定。 李雅普诺夫第二法稳定性定理 设系统状态方程为