最小二乘法讲课.docVIP

同学们好，今天有我来为大家讲解最小二乘法。 我们首先要知道最小二乘法就是建立经验公式的方法。那么，什么是经验公式呢？（可以抽问） 经验公式就是指在实际工作中，根据实际测量得到的一组数据找出变量间的近似函数关系，我们把这样得到的函数表达式称为经验公式. 下面让我们来具体研究最小二乘法的做法。 设某一实际问题有两个变量x与y，经测n组数据：（x1,y1）,(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn)试找出经验公式。 那么，首先我们应该将这n组数据看作直角坐标系中的n个点Ai（xi,yi）其中i=1,2,3,…,n 然后将这n个点在坐标平面上标出，若这些点大 致呈直线分布，则可假设x与y之间存在线性关系. 因此我们可以假设x,y之间的线性关系为y=ax+b,其中a，b为待求参数。因此我们可以找出在直线y=ax+b上且与点Ai（xi,yi）横坐标相同的点Bi（xi,axi+b）,则点Ai与点Bi的距离为di=(axi+b-xi)的绝对值，其中i=1,2,3，。。。，n 我们称di为实测值与估测值之间的偏差，这些偏差的平方和称为总偏差，记作S ,即 我们根据偏差的平方和总偏差S最小来确定系数a,b的方法就称为最小二乘法。 因为S是关于a,b 的二元函数，所以由极值的必要条件可以解方程组整理可得最小二乘法正规方程： ，因此我们可以解出。（解方程组过程：由可以推出,再由和可以推出。） 下面让我们来看一道例题： 我们首先应该根据提议建立经验公式C=aQ+b，其中a,b为待求参数。我们已知有十组数据，因此为了解题更方便我们可以列出书上那样的表格，分别把求出。再根据我们前面对最小二乘法研究得到的公式(例题中的Qi对应xi, Ci对应yi)，类似地将对应数据代入公式（书上那个例题中的公式）