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以三次函数为载体类比解决复杂的导数题型 高考中导数与函数的考点主要是以下几个： 1、考查导数与函数最值问题、考查导数与函数单调性问题、考查导数与函数图象切线问题、考查导数与函数不等式问题、考查导数与函数建模问题考查导数与函数不等式构造函数，运用导数在函数单调性方面的性质，解决不等式证明、参数取值范围等问题。导数与函数最值问题、导数与函数单调性问题 例1：函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（ ） A. 1，－1 B. 1，－17 C. 3，－17 D. 9，－19 解： 例2：已知函数在x＝±1处取得极值。 （I）讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； （II）过点A（0，16）作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程。 解： 类比例题：已知函数为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）求函数在区间[0，1]上的最大值. 解： 从上面的例子可以看出，只要我们熟悉三次函数的图象、掌握其性质，是可以类比在“超越函数”中的。 二、导数与函数问题构造函数，运用导数在函数单调性方面的性质，可解决不等式证明、参数取值范围等问题。设置此类试题，旨在考查导数基础性、工具性、现代性的作用，以强化数学的应用意识。是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。 （I）求的解析式； （II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 解：f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); （Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。 解：f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.f(x)的最大值； （Ⅱ）设0ab,证明：0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2. 解： 以三次函数为载体类比解决复杂的导数题型答案 一、例1：解：函数的导方程是，两根为1和－1，由性质2得： ， 。故选C。 例2：解：（I）因为，所以导方程。 因为在x＝±1处取得极值，所以，是导方程的两根， 所以 解得 a＝1，b＝0 所以 由推论得是f(x)的极大值；f(1)＝－2是f(x)的极小值。 （II）曲线方程为，点A（0，16）不在曲线上。 设切点为M 因为，故切线方程为 由点A（0，16）在切线上，所以 解得，切点为M（－2，－2） 故所求切线方程为 类比例题：解：（Ⅰ） （i）当a=0时，令 若上单调递增； 若上单调递减. （ii）当a0时，令 若上单调递减； 若上单调递增； 若上单调递减. （Ⅱ）（i）当a=0时，在区间[0，1]上的最大值是 （ii）当时，在区间[0，1]上的最大值是. （iii）当时，在区间[0，1]上的最大值是 二、导数与函数问题解：（I）是二次函数，且的解集是 可设在区间上的最大值是 由已知，得 （II）方程等价于方程 设则 当时，是减函数； 当时，是增函数。 方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根， 所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。解：（I） 当即时，在上单调递增， 当即时， 当时，在上单调递减， 综上， （II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 当时，是增函数； 当时，是减函数； 当时，是增函数； 当或时， 当充分接近0时，当充分大时， 要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 　　即 所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为 的定义域为. 令 当 当 又 当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0。 （Ⅱ） 设 则 当 则内为减函数。 当上为增函数。 当有极小值 即 设 则 当 上为减函数。 即 5