4.1.2圆的一般方程课件精品.pptVIP

4.1.2圆的一般方程 O C M(x,y) x2+y2+Dx+Ey+F=0 复习回顾: 圆的标准方程？ 将标准方程展开会得到怎样的式子呢？ 其中,圆心的坐标是 其中a，b，r均为常数 我们能否将以上形式写得更简单一点呢？ 思 考 半径大小是 由于a,b,r均为常数 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式： （1） 是不是任何一个形如 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示的曲线是圆呢？ 探 究 尝试1： 判断下列方程分别表示什么图形 （1）圆 圆心为（1，-2），半径为2 （2）不表示任何图形 方程并不一定表示圆 （2）x2+y2-2x-4y+6=0 （1）x2+y2-2x+4y-1=0 配方可得： 把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (1) 当D2+E2-4F0时,表示以（ ） 为圆心，以( ) 为半径的圆. (2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2 y=-E/2，表示一个点（ ）. 动动脑 (3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形. 所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F0）可表示圆的方程 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆的一般方程与标准方程的关系： （D2+E2-4F0） （1）a= ，b= ，r= 没有xy这样的二次项 （2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 2.圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 1.圆的一般方程: 2 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。 1 已知圆 的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于 应 用 D （1） （2） （3） 练习 判断下列方程是不是表示圆 以（2，3）为圆心，以3为半径的圆 表示点（2，3） 不表示任何图形 方法一：待定系数法 解：设所求圆的方程为： 因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上 所求圆的方程为 例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 待定系数法 方法二：待定系数法 解：设所求圆的方程为： 因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上 所求圆的方程为 例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点 x y O E A(5,1) B(7,-3) C(2,-8) 几何方法 方法三： 【归纳小结】 2.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 1.待定系数法 (特殊情况时,可借助图象求解更简单) 列关于a，b，r （或D，E，F）的方程组 解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程） 例2、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程， 相关点法 例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 . 由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以 即: 因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的方程,即: 点M的轨迹方程 相关点法步骤： 例题3 已知一曲线与两个定点O（0，0）,A(3,0)距离之比为1 : 2.求此曲线的方程，并画出该曲线. 解：设M（x，y）是曲线上的任意一点, 则点M所属集合为： 即： 整理化简得： 配方得： 所以所求的曲线是以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆（如图） y x . O . . （-1，0） A(3,0) M(x,y) 课堂小结 1.任何一个圆的方程可以写成x2 +y2+Dx+Ey+F=0（1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只有D2+E2