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数学物理方法 B 习题 一、利用分离变量法求解偏微分方程 1、利用分离变量法将球坐标系下拉普拉斯方程 1 ∂ ∂⎛ u ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂2u 2 ⎜r2 ⎟+ 2 ⎜sinθ ⎟+ 2 2 2 0 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sinθ θ∂ ⎝ ∂θ⎠ r sin θ ϕ∂ 分解成三个独立的常微分方程。 2、利用分离变量法将柱坐标系下拉普拉斯方程 ⎛ ⎞ 2 2 1 ∂ ∂u 1 ∂ u ∂ u ⎜⎜ρ ⎟⎟+ 2 2 + 2 0 ρ ρ∂ ⎝ ∂ρ ρ ϕ⎠ ∂ ∂z 分解成三个独立的常微分方程。 3、利用分离变量法将球坐标系下亥姆赫兹方程 1 ∂ ∂⎛ u ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂2u 2 + θ + + 2 0 2 ⎜r ⎟ 2 ⎜sin ⎟ 2 2 2 k u r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ θ∂ ⎝ ∂θ⎠ r sin θ ϕ∂ 分解成三个独立的常微分方程。 4、利用分离变量法将柱坐标系下亥姆赫兹方程 ⎛ ⎞ 2 2 1 ∂ ∂u 1 ∂ u ∂ u 2 ⎜ρ ⎟+ + +k u 0 ⎜ ⎟ 2 2 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ⎝ ⎠ 分解成三个独立的常微分方程。 二、勒让德函数的性质及其应用 1、在 ( )( ) −1≤x ≤1上，将下列函数展开为P x l 0,1,2, L 的广义傅里叶级数 l （1） 3 ( ) x （2 ） x （3 ）xP x m 2、将下列函数在 ( ) 0 ≤θ ≤π ，0 ≤ϕ ≤2π 上展开为Y θ,ϕ 为基的广义傅里叶级数 lm 2 2 2 2 ( ) 3sin θsin ϕ−1 （2） sin θsin ϕ （3） 1+3cosθ sinθsinϕ （1） （4）1 (x 2 +2z 2 +3xy +4xz )，其中r 2 x 2 +y 2 +z 2 2 r 3、利用勒让德多项式递推公式计算定积分： 1 ( ) ( ) xP x P x dx ∫ k l −1 4、半径为 r 的球形区域内部没有电荷，球面上电势为u0 sin2 θ ，u 为常数， 求 0 0 球形区域内部的电势分布。 5、一半径为 1 的空心球，以球心为坐标原点，当表面充电至电势为 ( 2 ) V 1+2 cosθ+3cos θ 时（V 为常量），求球内