数学物理方法5.1B.pptVIP

5.1 （c）（e） (g) 作业 §1 留数定理 一、留数的定义 1.计算闭路积分 ① f (z)在L上及L内除z0点外解 析 ② z0为 f(z) 的孤立奇点 第五章 留数定理及应用 积分遇到的困难：① f (z)的形式不 清楚 ② L的形状不规 则 R r z0 L c 克服困难②的手 段： 作辅助小 圆 由复连域Cauchy定理： 克服困难①的方法： 将：f(z)在z0的去心邻域 0|z-z0|r 作罗朗展开 2.留数的定义 若L为分段光滑的简单闭路（逆时针方向）， f (z)在L上及L内除z0点为孤立奇点外，处处解 析， 则 称为f (z)在z0点的 留数 记作： 显然，若z0点为 f(z) 的可去 奇点 若L为分段光滑的简单闭路(逆时针方向)，f (z) 在L上解析，f (z)在L内除有限个孤立奇点z1，z2 ……z n外处处解析，则 L内所有孤立奇点留数 之和 二、留数 定理 证明：在L内作小圆：包住各 个奇点 z1 z k C1 Ck L ∵z k为孤立奇点 ∴可使得Ck互 不相交 f (z)在L,C1,……C n为边界的复连域 内解析 由复连域Cauchy定理： 2）留数定理右侧是对f (z)在L内所有孤立奇点留数 取和，而不是对f(z)的全部孤立奇点的留数 取和 3）留数定理的关键是必须掌握各类奇点留数的计算 说明： 1）留数定理的意义：将解析函数的闭路积分 转化 为留数之间的代数运算。 三、留数的 计算 由留数的定义： 求留数有两种途径： 之一： 积分法 之二： 罗朗展开 1.可去奇点的 留数 ∵ 若z0为f (z)的可去奇点 ∴ f(z)在z0的去心环域的罗朗展开式不含负 幂次。 其中： 【例】 ，z＝0是f (z)的可 去奇点 2. 本性奇点的留数 只能由f (z)在z0的去心邻域上作罗朗展开 从中求出b－1 【例】 3. 极点的留数 1）若z0为f(z)的一阶极 点 ①极限法： 【例】 求Resf(1) 首先判断z＝1是f (z)的什么性质的 奇点 孤立奇点 是极点 其中sin z在z=1点解析， 且sin z|z=1≠0 ∴z＝1是 的一阶 极点 【例】 求Resf(1) 则 且 若 其中P (z)、Q (z)均在z0点解析 ② 导数法： 证明： 由①知： 解：∵z=1是 的一阶零点 ∴z=1是f (z)的一阶 极点 极限法： 或 【例】 求Resf(1)，n为 正整数 求导法： 2）z0为f (z)的m阶极点 证明：∵z0为f (z)的m阶 极点 ∴f (z)在z0点的去心邻域的罗朗展开式为 其中b－m≠0 右端为一泰勒级数在其收敛圆内可逐项微分 孤立奇点的留数求解 在z0点解析 在 奇点类型 Res f(z0) 可去奇点 0 m阶极点 1阶极点 任意函数 本性奇点 洛朗展开Res f(z0)＝b-1 【例】求 在奇点处 的留数 解：f (z)的奇点是方程z5+4z3＝0的解 ∴ f (z)的奇点：z1=0，z2=2i， z3=-2i z1=0：三阶极点 z2=2i：一阶极点 z3=-2i：可去奇点 【例】求 在奇点处的留数 解：z＝0是奇点，分母是4阶零点，分子是1阶 零点 ∴ z=0为3阶极点 计算比较繁琐，可以将分子展开为泰勒级 数 思考题2：求 思考题1：求 在z=1处的留数