同济大学微积分课件ch9习题课.pptVIP

从而级数发散. 而积分在 时收敛, 在 时发散, 故原级数在 时收敛, 在 时发散. 当 时, 级数为 例5 设 且 则当 级数 收敛; 时 级数发散. 证 当 可取 使得, 因 故, 存在 当 时, 有 即 故, 级数 收敛. 若 可取 使得 因 故, 存在 当 时, 有 故 因 发散, 故级数 发散. ? 例6 求下列幂级数的收敛域: 1. 2. 3. 解 1.考虑级数 及 , 容易得到, 收敛域 分别为 故原级数的收敛域 为 且通项趋于零. 注意到 2.令 显然有 即级数 的收敛半径为1. 时, 级数显 然发散: 时, 级数 为交错级数， 故数列 当 3.因 故幂级数 的收敛半径为 收敛, 即原幂级数的收敛域为 时单调递减, 从而级数 令 , 则有 取 计算极限 故, 原式的极限为 即, 对 级数 的一般项不趋于 零, 因而级数发散. 故该级数的收敛域为 从而原级数的收敛域为 例7 求级数 即 等价于 故, 原级数的收敛域为 解 令 , 则级数 的收敛域为 的收敛域. 例8 求下列级数的和函数: 1. 2. 解 1.因 故, 当 时, 幂级数收敛, 设其和函数为 即 两边积分, 得 2. 显然收敛域为 当 时, 令 又 所以 且 因 且 故 例9 求级数 解 显然级数收敛. 令 的和. 因 所以 例10 求下列函数的麦克劳林级数: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. . 解 1. 2.因 故 3. 因 4. 因 5. 因 故 所以 例11 求 解 因 为偶函数, 故 的傅立叶级数. 因函数连续, 所以函数 的傅立叶级数为 并求和 解 例12 求函数 的傅立叶级数, 故, 相应的傅立叶级数为 注意到当 及 时, 级数收敛到 , 取 代入到上式, 有 即: 即: 取 则有 * 习题课 一、数项级数及审敛法 二、幂级数 三、傅立叶级数 本章要点 一、数项级数及审敛法