机械动力学5节.pptVIP

3、周期性激励下的频域响应 在周期性激励振力作用下，系统的谐振现象更复杂，就更需要描绘振动响应随频率变化的方法。为此，可以用激振频率ω作为横坐标，以响应的峰值 作为纵坐标，绘出响应的峰值随激振频率变化的曲线称为频域响应，而作为时间的函数来描述的响应称为时域响应。 4、工程实例 例题 机床凸轮进给系统的振动 如图a为机床凸轮进给系统的简化模型。m代表滑台及其上面的刀架的质量，K和c分别为切削刚度和阻尼，K1为驱动系统的刚度。凸轮使顶杆D沿水平线作周期运动，运动规律为锯齿波，如图b所示。已知凸轮的升程为h，转速为n，试求质量m的受迫振动。 解： 顶杆D的运动规律，也即锯齿波的方程为 激励频率可以根据凸轮转速计算出 激励周期为 则可求出傅里叶系数 三、在任意激振力作用下的受迫振动 一个有阻尼的单自由度系统在任意激振力的作用下，其运动微分方程为 其中，F(t)的图像如图所示，上式也可写为 第五章 单自由度系统的振动 ，用牛顿定律可建立系统的运动方程如下： §5.1 单自由度系统的自由振动 1、理论分析 如图，是单自由度线性振动系统的模型，其中m是振动物体的质量，k是弹簧刚度，c是阻尼器的阻尼系数，F（t）是外加激振力， 是在重力作用下弹簧的静变形，x是从静力平衡位置O-O量起的位移。根据质量m的受力图，注意到 一、无阻尼自由振动 能用线性微分方程来描述的振动系统即称为线性振动系统。 §5.1 单自由度系统的自由振动 一、无阻尼自由振动 当不存在外加激振力，且不考虑阻尼时，上式可简化为无阻尼自由振动方程 这是振动的最简单情况。令 则无阻尼自由振动方程可改写为 λ为正实数，根据微分方程的理论，这一齐次线性微分方程的解具有如下形式： 式中 称为系统的圆频率，单位为rand/s。 称为系统的频率，单位为Hz（赫兹）。 和f的单位虽不同，但他们只和系统的固有参数有关，因此也均称为系统的固有频率。 振动的周期T为 单位为s。齐次线性微分方程的解还可表示为 式中：A称为振幅； 称为初相位，单位为rad。 无阻尼自由振动是一个以固有频率为频率的简谐振动。 设初始时刻t=0时的位移为x0、速度为v0，则可得 2、工程实例 机器或结构中的构件受一静负荷后要产生变形，其内部要产生应力，分别称为静变形和静应力。而当受冲击或产生振动时，构件要产生动变形和动应力。 例题 在一般的质量-弹簧系统中，都认为弹簧是一个没有质量的弹性体。如果要计算的精确一些，也应计入弹簧的质量（如图）。在弹簧坐标为x处取一微元长度dx，则此微元长度的动能为 式中q为弹簧单位长度的质量。弹簧上端的速度即为质量块的速度 ，弹簧下端的速度为零，可以认为弹簧沿高度方向的速度呈线性分布，即 弹簧的动能为 物体表面间的摩擦力、周围介质的阻力、材料的内摩擦等，这类阻力统称为阻尼。 阻尼的性质可能很复杂，通常把它简化为所谓的粘性阻尼。粘性阻尼的特点是阻尼力的大小与速度成正比，阻尼力的方向与速度相反。采用粘性阻尼使得在数学处理上大为简化。有阻尼自由振动的运动微分方程为 二、有阻尼自由振动 令 则有 则该方程的特征根为 引入量纲一的量 称为阻尼比或相对阻尼系数。下面根据特征根的取值，分三种情况讨论： 1、大阻尼 当 或 时称为大阻尼。此时特征根为两个不等的负实根。方程的解为 式中， 。此式所标示的运动是一个非周期性的运动而不是一个振动。 2、临界阻尼 当 或 时称为临界阻尼。此时特征根为二重根，方程解为 此式所表示的运动也是一个非周期性的运动。 3、小阻尼 当 或 时称为小阻尼。此时特征根为一对共轭复根。令 此时方程的解为 式中的待定系数A1、A2根据初始条件确定。设振动物体具有初位移x0何处速度 ，则系统对初始条件的响应为 也可改写为 式中 从上面的式子可以看出，这时系统的运动为周期性的振动。其振动圆频率为 ，称为有阻尼振动的固有频率，它比无阻尼自由振动的固有频率 略小。振幅Ae-at随时间成指数形式衰减。如图给出了这种衰减振动的响应曲线。 1、理论分析 在简谐激振力 的作用下，系统的运动方程为 §5.2 单自