近六年高考湖北理数压轴题标答.docVIP

(2007）21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力. 解法1： （Ⅰ）证：用数学归纳法证明： （i）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x,因为x2≥0, 所以左边≥右边，原不等式成立； （ii）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，则当m=k+1时， 两边同乘以1+x得 ， 所以时，不等式也成立。 综合（i）（ii）知，对一切正整数m，不等式都成立. （Ⅱ）证：当n≥6,m≤n时，由（Ⅰ）得 于是 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当n≥6时， 故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形； 当n=1时，3≠4，等式不成立； 当n=2时，32+42＝52，等式成立； 当n=3时，33+43+53＝63，等式成立； 当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立； 当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立. 综上，所求的n只有n=2,3 解法2： （Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当x-1，且x≠0时，m≥2,（1+x）m1+mx. （i）当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x20，即左边右边，不等式①成立； （ii）假设当m=k（k≥2）时，不等式①成立，即（1+x）k1+kx,则当m=k+1时，因为x-1,所以1+x0.又因为x≠0,k≥2,所以kx20. 于是在不等式（1+x）k1+kx两边同乘以1+x得 （1+x）k·（1+x）（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx21+（k+1）x, 所以（1+x）k+11+（k+1）x,即当m＝k+1时，不等式①也成立 综上所述，所证不等式成立 （Ⅱ）证：当 而由（Ⅰ）， （Ⅲ）解：假设存在正整数成立， 即有（）+＝1② 又由（Ⅱ）可得 （）+ +与②式矛盾， 故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n。 故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形； 当n=1时，3≠4，等式不成立； 当n=2时，32+42＝52，等式成立； 当n=3时，33+43+53＝63，等式成立； 当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立； 当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立 综上，所求的n只有n=2,3 （2008) 21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分） （Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有=a1a3,即 矛盾. 所以｛an｝不是等比数列. (Ⅱ)解：因为bn+1=(－1)n+1［an+1－3(n+1)+21］=(－1)n+1(an－2n+14) =－(－1)n·（an－3n+21）=－bn 又b1=－(λ+18),所以 当λ＝－18，bn=0(n∈N*),此时｛bn｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N*). 故当λ≠－18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=－18时, bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ≠－18，故知bn= －（λ+18）·（－）n－1，于是可得 Sn=－ 要使aSnb对任意正整数n成立， 即a－(λ+18)·［1－（－）n］b(n∈N*) (n∈N*) ① 当n为正奇数时，1f(n) ∴f(n)的最大值为f(1)=, f(n)的最小值为f(2)= , 于是，由①式得a－(λ+18) 当ab3a时，由－b－18=－3a－18知，不存在实数λ满足题目要求； 当b3a时，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有aSnb，且λ的取值范围是 （－b－18,－3a－18）.