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常微分5-3
5.3 可降阶的高阶方程
本节主要讨论可降阶的二阶方程，通过变
量代换化为一阶方程，当所得的一阶方程可解
时，就可求得原方程的解，这种求解方法称为
降阶法。该方法也可用于更高阶的方程。
( )n
y f x ( )
1. 型的微分方程
特点：方程右端仅含自变量 x .
解法：对变量 x 连续积分n 次.
例1.求方程 ′′′ x 的通解
y xe
′′ x x x
y xe dx xe e −C +∫ 1
解
′ x x
y xe e C−dx+ ( 1 )
则 ∫
x x
xe − e +C x +C 2
1 2
x x
y xe e −C x +C ( dx+ 2 1 2 )
∫
C
x x 1 2
− + +xe + e x 3 C x C
2 3
2
′′ ′
y f x y ( , )
2. 型的微分方程
特点：方程右端不显含未知函 数y .
′ ′
解法：右端含有y y , 设 的正规形式中也不显含y
y p x ′ ( ,) ( p )x 为新的未知函数.
故可作变量代换
′′ ′
y p∴x ( ) 关于x,p 的一阶方程
′
p f x p ( , )
代入原方程得
p p x
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