求异面直线的若干方法.docVIP

球组合体的解决方略 胥容华 在新教材“球”这一节的相关练习、习题以及总复习题中都配有一定数量的球与其他几何体内接或外切的组合体问题，在学习中要熟记一些常规结论：（1）棱长为a的正方体内接于半径为R的球，则，半径为R的球内切于棱长为a的正方体，则2R=a；（2）正四面体的内切球半径r与外接球半径R满足R=3r，且正四面体的高h=4r。并要掌握处理组合体问题中常用到的利用轴截面转化为平面几何知识的转化思想，割补法的使用以及利用不等式、三角等知识，求面积、体积最值的综合应用。下面分类举例说明。 一、利用轴截面转化为平面问题求解 例1 求证：球与它的内切圆锥的体积之比等于它们相应的表面积之比。 分析：根据本题所给出的结论，应找出球的半径与圆锥底面圆半径及母线之间的关系，考虑组合体的轴截面，转化为平面图形寻求其关系，多用直角三角形相似。 解：如图1为球与它相切的圆锥的轴截面。 设AC=R，球半径OD=r，圆锥高VC=h，母线VB=l。 因为Rt△VOD~Rt△VBC， 所以，即， 所以， ， ·， 所以。 二、利用三角、不等式知识解决最值问题 例2 如图2，在半径为R的半球内有一内接圆柱，（1）求圆柱全面积的最大值；（2）求圆柱体积的最大值。 解：（1）由对称性知，圆柱下底面的圆心即为球心O，AB是圆柱的一条母线，即为圆柱的高，设∠AOB=θ（0＜θ＜） 则AB=Rsinθ，OB=Rcosθ， S圆柱侧=2π·OB·AB=2πR2sinθ·cosθ， S圆柱底=π·OB2=πR2·cos2θ， 所以S圆柱全=2πR2sinθ·cosθ+2πR2·cos2θ=-πR2sin2θ+πR2（1+cos2θ）=πR2[]。 所以当即时，圆柱全面积的最大值是。 （2）V圆柱=π·OB2·AB=π·R2cos2θ·Rsinθ=πR3sinθ·cos2θ， 设S=sinaθ·cos2θ S2=sin2θ·cos4θ =sin2θ（1-sin2θ）（1-sin2θ） ≤·（）3 =。 则当2sin2θ=1-sin2θ即sinθ=时，圆柱体积有最大值。 评注：求面积或体积的最值，关键是通过其轴截面寻求数量关系和选取适当的自变量建立有关的目标函数。本题的目标函数均为三角函数，而求最值的方法分别运用的是三角函数法和基本不等式法，体现了知识间的交汇性。 三、利用割补思想解决问题 例3 正三棱锥P-ABC的高为1，底面边长为，棱锥内有一个球与其四个面都外切，（1）求棱锥的全面积；（2）求球的体积。 解：（1）可攻得三棱锥的全面积S全=9。 （2）设内切球的球心为O，连OA、OB、OC、OP。则将三棱锥P-ABC分割成四个三棱锥O-ABC、三棱锥O-PAB、三棱锥O-PAC和三棱锥O-PBC。 则 VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC， 所以··r·（S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PBC）。 所以r= 所以V球=。 例4 一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为 。 分析：本题可使用补形法，将正四面体补成正方体，则正四面体的棱切球即为正方体的内切球，由正四面体的棱长为a，知正方体的棱长为，正方体的内切球半径r=。 所以V棱切球=。 四、新颖的客观题 例5 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，下面的几个截面中（如图3），必定错误的是（ ） 分析：本题主要考查对组合体的空间想象能力，其中B为正方形内接于圆。而在所考虑的组合体中过球心的内接截面应是边长之比为：1的矩形，故（B）是错误的。 例6 如图4，在一个倒置的正三棱锥容器中，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一个侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ） 分析：本题考虑球与正三棱锥的空间相切问题，无须进行定量的运算，将题目中的数学语言转化为图形语言，从而构造基本图形，经过侧棱与高的截面是一个不等边的斜三角形为B、C、D图，其上底是正三角形是高，另两边分别为侧棱与斜高，且侧棱较长，截得的圆应是大圆，该圆与侧面的斜高相切，与侧棱相离，故选（B）。 年级 　高中 学科 数学 版本 期数 内容标题 　　球组合体的解决方略 分类索引号 　　G.622.46 分类索引描述 　　辅导与自学 主题词 　　球组合体的解决方略 栏目名称 　学法指导 供稿老师 审稿老师 录入 沈琴 一校 二校 审核 3