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高三函数复习讲义（一） 一、函数与映射 映射的概念：设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为 考点一 映射与定义域 [例1]集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是_________ 考点二 求函数的定义域、值域 1.求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域 由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得，故所求值域是 （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为 ，而，所以，故 [来源:] （5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域 当时，；当时，，若，则 若，则，从而得所求值域是 （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域 因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为 （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。 1：求有解析式的函数的定义域 [例1]（08年湖北）函数的定义域为( ) A.;B.；C. ;D. 题型2：求抽象函数的定义域 ，则的定义域为（ ） A. ；B. ；C. ；D. 题型3；求函数的值域 []已知函数，若恒成立，求的值域 练习1．(2008江西改) 若函数的定义域是，则函数的定义 是 练习2．(2008江西理改)若函数的值域是，则函数的值域是 二、函数的表示法 考点一 求函数解析式 题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 [例1] 已知二次函数满足，求[ [例] （04湖北改编）已知=，则的解析式可取为 满足，求 题型2：求二次函数的解析式 [4] （普宁市城东中学09届高三第二次月考）二次函数满足，且。⑴求的解析式； ⑵在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围。 练习1．（06全国卷二改编）若，则 考点二 用图像表示函数 [例1] (2005·湖北)函数的图象大致是( ) 考点三 分段函数 [例1]（09年潮州金山中学）已知函数，则 则不等式的解集为 三、函数的单调性与最值 函数的单调性定义：设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间 函数的最值：设函数的定义域为，如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值 函数的最值的求法： （1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。 （2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。 （3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。 （4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法 （5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。 考点一 函数的单调性 题型：研究抽象函数的单调性 [例] 定义在R上的函数，，当x＞0时，，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）. （1）求证：f（0）=1； （2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0； （3）求证：f（x）是R上的增函数； （4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围. 的单调增区间为（ ） A．；B．；C．；D． 练习2. (2008全国Ⅰ卷)已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围。 考点二 函数的值域（最值）的求法 题型1：求分式函数的最值 [例1] （2000年上海）已知函数 当时，求函数的最小值； 题型2：利用函数的最值求参数的取值范围[来源:] [例2] （2000年上海）已知函数 若对任意恒成立,试求实数的取值范围。题型3：求三次多项式函数的最值 []（09年高州中学）已知为实数，函数，若，求函数在上的最大值和最小值。 练习1.已知定义域为的函数是奇函数。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； 练习2.（高州中学09届模拟）已知函数。 （Ⅰ）若为奇函数，求的值；[来源:]在上恒大于0，求的取值范围。 四、函数的奇偶性和周期性 函数的奇偶性的定义：对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。 函