高等代数第4章矩阵1,2,3节.pptVIP

4.2.2 矩阵的数乘 4.2.3 矩阵的乘法 4.2.4 矩阵的转置 小结 * * 4.1 矩阵的概念 4.1.1 矩阵的概念 4.1.2 矩阵应用实例 第四章 矩阵 由 个数 排成的 行 列的数表 称为 矩阵. 记作 4.1.1 矩阵的概念 简记为 元素全是实数的矩阵称为实矩阵, 元素全是复数的矩阵称为复矩阵. 例如 是一个 实矩阵, 是一个 复矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵. (2)只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量). （3）只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量). （1）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 . 几种特殊矩阵 例如 是一个3 阶方阵. (4)行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶 方阵.也可记作 一般的n 阶方阵： 称为上三角矩阵. （5） 形如 的方阵, 称为下三角矩阵. （6） 形如 的方阵, 称为对角 矩阵(或对角阵）. （7） 形如 的方阵, 记作 全相等 （8） 形如 的方阵, 称为数量矩阵. 记作 (9)方阵 称为单位矩阵（或单位阵）. 全为1 例1. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B. 4.1.2 矩阵应用实例； 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 发站 到站 其中 表示有航班. 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表: 这个数表反映了四城市间交通联接情况. 例2 间的关系式 线性变换， 系数矩阵 若线性变换为 称之为恒等变换. 对应 单位阵. 线性变换 对应 这是一个以原点为中心 旋转 角的旋转变换. 4.2 矩阵的运算 4.2.1 矩阵的加法 4.2.2 矩阵的数乘 4.2.3 矩阵的乘法 4.2.4 矩阵的转置 4.2.5 矩阵的共轭 若两个矩阵 则称矩阵 定义：行数、列数对应相同的矩阵称为同型矩阵。 4.2.1 矩阵的加法 相等,记作 为同型矩阵, 并且对应元素相等,即 设有两个 矩阵 那么矩阵 ， 的和记作 ，规定为 注：只有行数、列数对应都相同的矩阵，即同型矩阵才能相加。 例如 为同型矩阵. 性质： ) ( . B A B A - + = - 定义减法： 注 性质： 并把此乘积记 作 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 注：当A的列数＝B的行数时，才有AB，且乘积C=AB的行数为A的行数，列数为B的列数 例如 性质： 定义n阶方阵的k次幂为： k个A 显然： 成立的充要条件是什么? 例： 解： 故 成立的充要条件为 注意　1.矩阵乘法不满足交换律，即一般来说未必有： 结论：n阶数量矩阵与任意n阶矩阵可交换 例 设 则 特别的，当AB=BA时，则称A与B可交换。 例 设 则 3.矩阵乘法不满足消去律: 即若 AB=AC且A?0,一般不能推出B=C 2.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 或 . 例 １、转置矩阵 转置矩阵的运算性质