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定理 对m ? n矩阵A,做一次行(列)初等变换，所得的矩阵B，等于以一个相应的 m 阶行(n阶列)初等矩阵左(右)乘A. 定理 初等矩阵都是可逆阵，且其逆阵亦为同类型的初等矩阵，有 类似地有 定理 非退化阵经过初等变换后仍为非退化阵,而退化阵经过初等变换后仍为退化阵. 定义 若一个矩阵具有如下特征就称之为阶梯(形)矩阵 (1)零行(即其元素全为零的行)位于全部非零行的下方(如果矩阵有零行的话); (2)非零行的首非零元 (即位于最左边的非零元) 的列标随其行标严格递增. 定义 若阶梯矩阵具有如下特征就称之为最简形矩阵 (1) 非零行的首非零元为1; (2) 非零行的首非零元所在列的其余元素皆为零. P100 P106 矩阵的等价标准型分解 例 都是阶梯矩阵, 但只有B是最简形矩阵; 矩阵 都不是阶梯矩阵. ~ ~ ~ ~ ~ r3?r4 1 1 ?2 1 4 0 1 ?1 1 0 0 0 0 2 ?6 1 1 ?2 1 4 0 2 ?2 2 0 0 ?5 5 ?3 ?6 0 3 ?3 4 ?3 1 1 ?2 1 4 2 ?1 ?1 1 2 2 ?3 1 ?1 2 3 6 ?9 7 9 r4?2r3 矩阵初等变换举例 r1?r2 r2?r3 r3?2r1 r4?3r1 1 1 ?2 1 4 0 1 ?1 1 0 0 0 0 2 ?6 0 0 0 1 ?3 r2?2 r3?5r2 r4?3r2 r3?2 r1?r2 r2?r3 阶梯形矩阵 最简形矩阵 1 0 ?1 0 4 0 1 ?1 0 3 0 0 0 1 ?3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ?3 定理 任意非零矩阵总可以经行初等变换化为阶梯矩阵及最简形矩阵。 注 一个矩阵经行初等变换所化成的阶梯矩阵显然不唯一；但所化成的行最简形矩阵是唯一的. 定义 若一个矩阵具有如下特征就称之为标准形矩阵 (1) 位于左上角的子块是一个r阶单位阵; (2) 其余的子块(若有的话)都是零矩阵. 例如 都是标准形矩阵 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 定理 任意非零矩阵都可经初等变换化为标准形矩阵 例 （1）对矩阵作行初等变换使之化为最简形矩阵; （2）再对最简形矩阵作列初等变换化为标准形. 矩阵化为标准形的步骤 注 矩阵不同，但标准形可能相同 定理 对任一 m ? n 矩阵 A ,必可找到 m 阶可逆阵 R、 n 阶可逆阵C，使 其中 r 是随 A 而定的不超过min( m , n )的非负整数. 又因 R、C 皆为可逆阵，故存在 R-1 及 C-1, 使 A = R -1 N C -1 若分别记可逆阵 R-1 、 C-1 为 P、Q ，则有以下结论: A = P NQ 对任一 m ? n 矩阵 A，必可找到可逆阵P、Q， 使 上式为矩阵 A 的[等价]标准形分解式. 成立. 结论 每个m ? n 矩阵都有唯一确定的等价标准形. A的等价标准形 将矩阵等价标准形分解的一般结论用于非退化阵，还可得出一些有用的结论. 定理 设A，B为n阶方阵，若AB = I (或BA = I)，则称A、B均为非退化阵，且他们互为逆矩阵，即BA = I (或AB = I ). 再论可逆矩阵 注 为了说明方阵B 是方阵A的逆阵，仅需验证AB = I或 BA = I 中任一成立即可. 定理 n阶矩阵A 为可逆阵的充分必要条件是A 可表示为有限个初等阵的乘积. 定理 n 阶矩阵A为非退化阵的充分必要条件是可通过对A 作有限次行(列)初等变换后化成单位阵. 利用行初等变换计算非退化阵之逆阵的一种方法: 解 例 对 n×n 线性代数方程组 x = A-1 b Ax = b 当系数矩阵A可逆时，可表示出其唯一解为 利用行初等变换直接求这个解的方法即为 G – J 消元法 n×n线性代数方程组的唯一解 例 试求 3×3 方程组 的唯一解 解 ，其逆阵为 系数矩阵为 故由 x = A-1 b 可写出该方程组的唯一解为 例 试求 3×3 方程组 的唯一解 解 系数矩阵为 故由 x = A-1 b 可写出该方程组的唯一解为: ，其逆阵为 用初等变换来解释G – J 消元法解该方程组， 先写出方程组的增广矩阵 当用行初等变换将增广矩阵左侧的系数矩阵化成单位阵E