高 中 必 备 基 础 专 讲第八讲：平面向量.docVIP

高 中 必 备 基 础 专 讲、专 练 第八讲：平面向量 高考要求 1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积. 2：向量的坐标运算、平面向量的数量积. 重难点归纳 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做向量； ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做共线向量（平行向量）； ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相等向量； ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单位向量. 向量加法法则是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿.减法法则是＿＿＿＿＿＿＿＿. 设a＝（x1,y1），b＝（x2,y2），R a＋b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. a－b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. a＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. cos a, b=____________=__________________. a∥ b＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；a⊥ b＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿. 典型题例示范讲解 1.向量的有关概念与运算 例1.此类题经常出现在填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的条件. 已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是　　　　　　　　　　. 方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知 ，故填 (,-)或(,-) 方法二　与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±(-3,4)，故可得a＝±(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)= a－(3,－1),便可得结果. 例2. 已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－by=3b－a,x与y的夹角的余弦是多少？ 解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=. 要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值. ∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4ab+b2=4－4+1=3， |y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6ba+a2=9－6+1=7. x·y=(2a－b)(3b－a)=6ab－2a2－3b2+ab =7a·b－2a2－3b2 =7－2－3=－x·y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ， ∴cosθ=－a＝(，－1)，b＝(, ). (1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)； 解：（1）法一：由题意知x＝(,), y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y 故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0. 整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t. 法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b ∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t 演变1： 已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋(sinα－3), ＝－k＋(sinα),且⊥，试求实数k 的取值范围. 演变2：已知向量，若正数k和t使得向量 垂直，求k的最小值. 3.平面向量与三角函数的综合运用 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例4．设函数f (x)＝a · b，其中向量a＝(2cosx , 1), b＝(cosx,sin2x), x∈R. （1）若f(x)＝1－且x∈[－，]，求x； （2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m , n) (﹤)平移后得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值. 解： (1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx,sin2x) ＝2cos2x＋sin2x＝1＋2sin(2x＋) 由1＋2sin(2x＋)=1－，得sin(2x＋)＝－. ∵－≤x≤ , ∴－≤2x＋≤, ∴2x＋=－, 即x＝－. （2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2(x－m)+n的图象，即函数y＝f(x)的图象. 由(1)得f (x)＝ ∵＜， ∴m＝－，n＝1. 专题测试强化一（08高考题节选） 1.（全国一3）在中，，．若点满足，则（ ） A． B． C． D． 2.（安徽卷3）．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（ ） A． （－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4） 3.（湖北卷1）设,,则 A.　　　　B.