复变函数第一章(第一讲).pptVIP

* * 课程名称 复变函数 教 材 《复变函数》(四版) 西安交通大学高等数学教研室 编 课程简介 对 象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 主要内容 复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等。 复数与复变函数、解析函数、 学习方法 复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处。但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 果。 第一章 复数与复变函数 §1 复数及其代数运算 §2 复平面上的点集 §3 复变函数的极限与连续 1.1 复数及其代数运算 1. 复数的概念 2. 复数几何表示 3. 复数的四则运算 4. 复数的乘幂与方根 5. 复球面、扩充复球面 一般, 任意两个复数不能比较大小。 定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或 z=x+yi为复数。 复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 复数的模 判断复数相等 定义 若z=x+iy , 称?z=x-iy 为z 的共轭复数. 第一章 复数与复变函数 §1 复数及其代数运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) 2. 代数运算 四则运算 z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 . 运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即， 共轭复数的性质 1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法 复数的表示方法 1. 点的表示 点的表示： 2. 向量表示法 o x y (z) P(x,y) x y ? 3. 三角表示法 4. 指数表示法 o x y (z) z1 z2 z1+z2 z2- z1 由向量表示法知 辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 把其中满足 的θ0称为辐角Argz的主值， 记作θ0=argz。 z=0时，辐角不确定。 计算 argz(z≠0) 的公式 辐角: 例2. 求 的模与辐角. 1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根 1.2 复数的乘幂与方根 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 1. 乘积与商 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 定理1可推广到n 个复数的乘积。 要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1. 2. 复数的乘幂 定义 设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ。 定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=z?z???z（共n个）。 特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ 一棣模佛(De Moivre)公式。 问题 给定复数z=re i ?，求所有的满足ωn=z 的 复数ω。 3. 复数的方根 几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。 x y o 5.复球面、扩充复球面 复球面 单位球面切