幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数.pptVIP

* 高等数学A(2) 期末总复习 (2) 2011年6月 四、第一、二类曲线积分，第一、二类曲面积分 格林公式、高斯公式。 （1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法； （2）基本公式 格林公式 高斯公式 主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分 主要作用：将曲面积分转化为三重积分 （3）基本应用： 格林公式和高斯公式的两类典型应用题： 2. 平面曲线积分 3. 二元函数的全微分求积问题 “ 封口法 ” 和 “ 挖洞法 ”。 与路径无关 在单连通区域 G 内 为某个二元函数 u 的全微分 且 （4）基本计算技巧 1. 利用对称性； 2. 利用曲线或曲面方程化简被积函数； 3. 利用关系式 将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分； 4. 利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简 化平面曲线积分。 例1：设椭球面 的表面积为a，则 20a 提示：利用曲面方程及对称性 例2：设 则 提示：利用曲线方 程及对称性 0 例3： 提示：利用高斯公式及 椭球体的体积。 例4：设 f (x) 在 ( 0 , + ? ) 上有连续的导数，L 是由点 提示：利用积分与路径无关，并取新路径： A ( 1 , 2 ) 到点 B ( 2 , 8 ) 的直线段，计算 （30） 例5：计算 ? 由抛物面 与圆柱面 及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。 提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标 例6：计算 再由坐标原点沿 x 轴到 B (2 , 0)。 解： 其中，L 为由点 A (?1 , 1) 沿曲线 到坐标原点， 分析：应用格林公式 补充： 五、数项级数收敛性判别，幂级数的收敛半径，收敛 区间，幂级数求和函数，傅里叶级数的收敛定理。 （1）数项级数收敛性判别 1. 正项级数 比较判别法，比值判别法，根值判别法， 收敛的必要条件 几何级数、P 级数和调和级数 2. 交错级数： 莱布尼茨定理 3. 任意项级数： 绝对收敛和条件收敛。 任意项级数 收敛性判断的一般步骤： （1）检验 （3）用正项级数审敛法检验 是否收敛？ 则原级数绝对收敛，从而收敛， （4）若 发散， 但是用比值或根值法判断的 则原级数也发散。 是否成立？ 若否，则原级数发散, 若是或 难求，则进行下一步； 若是， 否则，进行下一步； （2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数 或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步 （5）用性质或其它方法。 （2）幂级数的收敛半径和收敛域 求幂级数 （1）利用极限 （2）判定幂级数在端点 确定收敛半径 R 及收敛区间 处的收敛性， 收敛域的一般步骤： （3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。 说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。 （2）对幂级数 要先做变换 性质3：幂级数 逐项积分后所得级数 的和函数 s (x) 在收敛域 I 上可积， 并有逐项积分公式 其收敛半径与原级数相同。 （3）求幂级数的和函数 性质4：幂级数 逐项求导后所得级数 的和函数 s (x) 在收敛区间 内可导， 并有逐项求导公式 其收敛半径与原级数相同。 说明：求和函数一定要先求收敛域。 （1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， 设 f (x) 是周期为 2l 的周期函数，且满足 （2）在一个周期内至多只有有限个极值点， 则 f (x) 的傅里叶级数必收敛，并且 （1）当 x 是 f (x) 的连续点时，级数收敛于 f (x)。 （2）当 x 是 f (x) 的间断点时，级数收敛于 （3）当 时，级数收敛于 （4）傅里叶级数的收敛定理 说明：上述结论同样适用 l = ? 的 情形。 典型例题 例1：若幂级数 在 x = - 2 处收敛， 则此幂级数在 x = 5 处（ ） （A）一定发散。（B）一定条件收敛。 （C）一定绝对收敛。（D）收敛性不能确定。 C 例2：若幂级数 的收敛半径是16， 则幂级数 的收敛半径是 （ ） 4 例3：已知 的收敛半径为 3 ，则 的收敛区间为（ ） 例4：级数 当（ ） （A）p 1 时条件收敛， （B）0 p ? 1 时绝对收敛， （C）0 p ? 1 时条件收敛， （D）0 p ? 1 时发散。 C 例5：求下列幂级数的和函数 容易求得 * * * * *