4.4、线段的垂直平分线.docVIP

线段的垂直平分线知识1、线段的垂直平分线的性质定理： ?? 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等． 2线段的垂直平分线的性质定理的逆定理： ? 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 3线段的垂直平分线的第二定义： ?? 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．典型例题例1 证明：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等． 已知：如图3-62，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝CB．点P在MN上．求证：PA=PB． 例2 已知：如图3-63，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P．求证：PA＝PB＝PC． 例1 证明: ∵MN⊥AB(已知)， ∴∠PCA=∠PCB(垂直定义). 在△PCA和△PCB中， AC=CB(已知)， ∠PCA=∠PCB(已证)， PC=PC(公共边)， ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 例2 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知）， ∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等）． 同理?? PB=PC． ∴? PA＝PB＝PC．  一、填空题 1．线段的垂直平分线可以看作是________________的集合。 2．如果MN是线段AB的垂直平分线，垂足为P，那么________⊥________，__________=_________，设点Q在MN上，则QA=_________，如果CA=CB，那么点C在_________上。 3．ED为△ABC的AC边上的中垂线，交AC于D，交AB于E，若AB=5，BC=6，则 △BCE的周长是____________。 4．在△ABC中，AB=AC，∠B=80°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC=____________。 5．Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线DE交BC于点D，连结AD，若∠BAD：∠DAC= 2：3，则∠BAC=____________，∠B=____________。 6．如图3-86，在△ABC的边AB和AC的垂直平分线分别交BC于P、Q，若∠BAC= 100°，则∠PAQ=____________，若∠BAC+∠PAQ=150°，则∠PAQ=__________。 7．如图3-87，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若BD=6cm，则AC=____________cm，若△ACD的周长为30cm，则BC+AC=____________cm。 8．如图3-88，P是线段AB中垂线上的一点，如图，O是中垂线与AB的交点，若OB=4cm，∠APB+3∠ABP=210°，则点B到AP的距离BD=____________。 ?二、选择题 1．若三角形内有一点，这点到三角形三个顶点的距离都相等，则这点一定是三角形的（） A．三边中垂线的交点B．三条中线的交点 C．三条高的交点D．三条角平分线的交点 2．下列说法中正确的是（） A．一个三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等 B．一个三角形三条角平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 C．等边三角形的三条中线交于一点，这点到三角形的三个顶点的距离相等 D．直角三角形中，斜边的中垂线必经过直角顶点 3．如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（） A．锐角三角形? B．直角三角形 C．钝角三角形? D．等边三角形 4．到平面上三点A、B、C距离相等的点（） A．只有一个B．有二个 C．三个或三个以上D．一个或没有5．如图3-89，△ABC中，AD垂直平分BC，C在AE的垂直平分线上，点D、B、C在同一直线上，则AD+DB与DE之间的关系是（） A．AD+DBDE? B．AD+DEDEC．AD+BD=DE? D．无法确定 ? 三、作图题 如图A、B、C三点，表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置P。（要求用尺规作图，只保留作图痕迹，不定作法） ? ? 四、已知：如图3-90，AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线分别交AB和BC的延长线 于点F、E。 求证：（1）DF//AC；（2）∠B=∠CAE。 ? ? 五、如图3-91，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的中垂线MN分别交BC、AB于点M、N。求证：CM=2BM。 ? ? ? 六、如图3-92，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC的中垂线于D，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E。求证：BF=CE。 ? ? 、如图3-93，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线上，DE交AC于F。求证：E在AF的垂直