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线性代数行列式经典例题 例1计算元素为aij = | i－j|的n阶行列式. 解 方法1 由题设知，=0，，，故 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第列． 方法2 = 例2. 设a, b, c是互异的实数, 证明: ???? 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: ? ???? = 行列式 即为y2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D= 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D= x D+（－1）a = x D+ a 由于D= x + a，，于是D= x D+ a=x（x D+a）+ a=xD+ ax + a== xD+ ax++ ax + a= 方法2 第2列的x倍，第3列的x倍，，第n列的x倍分别加到第1列上 === 方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式． D x k= x( + +++a+x) = 方法4 + ++ + =（－1）（－1）a+（－1）（－1） ax ++（－1）（－1）ax +（－1）( a+x) x = 例4． 计算n阶行列式： () 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． = 这个题的特殊情形是 = 可作为公式记下来． 例5．计算n阶“三对角”行列式 D= 解 方法1 递推法． DD— D－D 即有递推关系式 D=D－D (n3) 故 ＝ 递推得到 ＝＝ ＝＝ 而，＝＝，代入得 （2.1） 由递推公式得 ＝ ＝αD ＋＝ ＝＋＋＋＝ 方法2 把D按第1列拆成2个n阶行列式 D=＋ 上式右端第一个行列式等于αD，而第二个行列式 =β 于是得递推公式，已与（2.1）式相同． 方法3 在方法1中得递推公式 D=D－D 又因为当时 D== === D= =-2 = = 于是猜想，下面用数学归纳法证明． 当n=1时，等式成立，假设当nk 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得 D=D－D =—= 所以对于nN，等式都成立 例6． 计算阶行列式： 其中． 解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式 其中，于是． 方法2 升阶（或加边）法 方法3 递推法．将改写为 + 由于 因此=为递推公式，而，于是 == == ==