第八章_刚性方程组及其数值计算第八章_刚性方程组及其数值计算.pptVIP

第八章 刚性方程组及其数值计算 武汉大学数学与统计学院 考虑如下线性常微分方程组: 上述初值问题的精确解是: * 其中 这里矩阵M的特征值为 显然当 时解的各个分量 是指数衰减的,并趋于稳态解 趋于稳态解 的速度是 由因子 决定的. 假如试图利用四级Runge-Kutta方法求解上述初值问题,要求计算直至得到符合精度要求的稳态解为止.我们讨论计算过程可能遇到的问题: 一.稳定性要求: 二.为使解充分接近稳态解只需要: 而实际上 后 已经不起作用了!!! 往后的计算我们当然希望使用大步长!但由于稳定性要求,仍要用小步长.从而耗费了巨大的计算量,并且误差积累的影响也随着计算步数的增加越来越严重. N是计算步数 上述例子中,系数矩阵的特征值虽然都是负数,但绝对值相差非常悬殊. 考虑n维非线性常微分方程组 设 是(1)定义在[0,T]上的解,并满足 现用 表示(1)在 附近的解, 则 应满足 (1)在 处的线性化方程 记矩阵 的特征值为 若条件 称解 为局部稳定,否则是不稳定的. 定义:设 是方程组(1)的一个解. 假定相应Jacobi矩阵 的特征值满足(3),并且 则称(1)在 附近为 刚性方程组. 刚性比