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第三章 一元函数微分学的应用 教研室：高等数学 研室 课程名称 高等数学I （上） 授课专业及班次 授课内容 第三章 一元函数微分学的应用 授课方式及学时 讲授，12 学时 目的 通过本章的学习，使学生：理解函数的极值概念；掌握求函数的极值，判断函数 与 的增减性与函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点等方法；能描绘函数的图形，会解 要求 较简单的最大值和最小值的应用问题，会计算曲率和曲率半径。 重点 重点：单调性和凹凸性的判别，最大值最小值的求法。 与 难点：凹凸性的判别，极值和最值的求法，描绘函数的图形。 难点 第一 函数的单调性与极值 (2学时) 第二 函数的最值及其应用 (1.5学时) 第三 曲线的凹凸、拐点 (1.5 学时) 讲授内容 第四 渐近线、函数作图 (2学时) 及 第五 相关变化率 (1学时) 时间分配 第六 曲率、曲率半径 (2学时) **第七 微分学在经济学中的应用 本章总结 (2学时) 具 1、《高等数学》,同济大学数学系编,高等 育出版社,2007 主要 2、《高等数学》,北京邮电大学数学 研室编,北京邮电大学出版社,2000. 参考资料 3、《高等数学》,湖南省21 世纪数学 材编写组编, 复旦大学出版社, 2007. 4、《高等数学教与学参考》，阎国辉编，西北工业大学出版社，2003. 1 第三章 一元函数微分学的应用 在本章中，我们将利用导数来研究函数的某些性态以及利用这些性态来描绘函数图形和解决一些实际 问题 第一 函数的单调性与极值 一、函数单调性的判别 函数的单调增加或减少，在几何上表现为图形的升降.容易知道，曲线随x 的增加而上升时，其切线（如 果存在）与x 轴正向的夹角成 角；曲线随x 的增加而下降时，切线与x 轴正向的夹角为钝角. 曲线的升降 与曲线切线的斜率密切相关，而曲线切线的斜率可以通过相应函数的导数来表示. 定理1 设f （x ） C （［a ，b ］），在 （a，b ）内可导， （1）若x （a ，b ），有f (x) ＞0，则f （x ）在 ［a ，b ］上严格单调增加. （2 ）若 x （a ，b ），有f （x ）＜0，则f （x ）在 ［a，b ］上严格单调减少. 证 x ，x ［a，b ］，不妨设x ＜x ，应用拉格朗日中值定理，有 1 2 1 2 f （x ）f （x ）=f （）（x x ）， （x ，x ）. 2 1 2 1 1 2 由f （x ）＞0 （f （x ）＜0 ），得f （）＞0 （f （）＜0 ）,故f (x ) ＞f (x ) ［f (x ) ＜f (x ) ］,即f (x)在 ［a,b ］ 2 1 2 1 上严格单调增加(减少),定理获证. π π 例1 证明y =sinx 在 2 , 2 上严格单调增加.