离散数学--6.5 平面图离散数学--6.5 平面图.pptVIP

6.4.4 平面图 平面图与平面嵌入 平面图的面及其次数 极大平面图 极小非平面图 欧拉公式 库拉图斯基定理 平面图的对偶图 平面图与非平面图 定义6.22 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作G的平面 嵌入. 没有平面嵌入的图称作非平面图. 平面图的面与次数 设G是一个平面嵌入 G的面: 由G的边将平面划分成的每一个区域 无限面(外部面): 面积无限的面, 用R0表示 有限面(内部面): 面积有限的面, 用R1, R2,…, Rk表示 面Ri的边界: 包围Ri的所有边构成的回路组 面Ri的次数: Ri边界的长度，用deg(Ri)表示 说明: 构成一个面的边界的回路组可能是初级回路, 简单回 路, 也可能是复杂回路, 甚至还可能是非连通的回路之并. 实例 例1 右图有 个面 实例 例2 右边2个图是同一 平面图的平面嵌入. R1在(1)中是外部面, 在(2)中是内部面; R2在(1)中是内部面, 在(2)中是外部面. 平面图的面与次数(续) 定理6.13 平面图各面的次数之和等于边数的2倍 证 一条边或者是2个面的公共边界, 或者在一个面的边界 中出现2次. 在计算各面的次数之和时, 每条边恰好被计算 2次. 极大平面图 定义6.24 若G是简单平面图, 且在任意两个不相邻的顶点 之间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图 极大平面图的性质 极大平面图是连通的 设G为n(n?3)阶简单图, G为极大平面图的充分必要条 件是, G每个面的次数均为3. 极小非平面图 定义6.25 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图都 是平面图, 则称G为极小非平面图 欧拉公式 定理6.14 设G为n阶m条边r个面的连通平面图, 则 n?m+r=2 证 对边数m做归纳证明. m=0, G为平凡图, 结论成立. 设m=k(k?0)时结论成立, 对m=k+1, 若G中无圈, 则G必有一个度数为1的顶点v, 删除v及关联的 边, 记作G?. G?连通, 有n-1个顶点, k条边和r个面. 由归纳假 设, (n-1)-k+r=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论成立. 否则, 删除一个圈上的一条边,记作G?. G?连通, 有n个顶点,k 条边和r-1个面. 由归纳假设, n-k+(r-1)=2, 即n-(k+1)+r=2. 得 证m=k+1时结论也成立. 证毕. 欧拉公式(续) 推论 设平面图G有 p (p?2) 个连通分支, 则 n ? m + r = p + 1 其中n, m, r 分别是G的阶数, 边数和面数. 证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各 连通分支用欧拉公式, ni ? mi + ri = 2, i = 1, 2, … , p 求和并注意 r = r1+…+rp? p+1, 即得 n ? m + r = p + 1 欧拉公式(续) 实例 例4 设简单连通平面图有n(n?3)个顶点、m条边, 则 m?3n-6 同胚与收缩 库拉图斯基(Kuratowski)定理 定理6.16 一个图是平面图当且仅当它既不含与K5同胚的 子图, 也不含与K3,3同胚的子图. 定理6.17 一个图是平面图当且仅当它既无可收缩为K5的 子图, 也无可收缩为K3,3的子图. 实例 对偶图 定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶 图G*=V*,E*构造如下: 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边 ek*=(vi*,vj*), 且与ek相交; 若ek只在面Ri的边界上, 则作环 ek*=(vi*,vi*). E*={ ek*| k=1,2, …,m }. 实例 性质 G*是平面图，而且是平面嵌入. G*是连通的. 若e为G中的环, 则G*中e*为桥; 若e为桥, 则G*中e*为环. 同构的平面图的对偶图不一定同构. 如(1)和(3) 对偶图(续) 定理6.18 设G*是连通平面图G的对偶图, n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n