离散数学-4-2 逆函数和复合函数revised离散数学-4-2 逆函数和复合函数revised.pptVIP

第三章 集合与关系 4-2 逆函数和复合函数 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@ 一．逆函数 函数是一种特殊的关系, 若R是从X到Y的关系，则逆关系Rc为从Y到X的关系，但对于任意给定一个函数f，它的逆不一定是函数，例如函数 f = {x1, y1, x2, y1, x3, y2} 其逆 f -1 = {y1, x1, y1, x2, y2, x3} 显然只是关系而不是函数。因为y1对应两个值x1, x2。破坏了单值性。 在什么情况下函数的逆也是函数呢？ 一．逆函数 定理4-2.1 设 f ：X→Y是一个双射函数，那么f c为Y到X的双射函数，即有f c ：Y→X 。 证明：因f是函数，f -1是关系，故 dom f -1 = ranf = Y, ranf -1 = domf = X 对任一，设x1, x2?X，使 y, x1, y, x2? f –1，则 x1, y, x2, y? f 由f为单射，故x1 = x2，即对任一y?Y, 有唯一x ?X与之对应， 故f -1为从有y到x的函数。 又因ran f -1 = X，故f -1: y?x是满射。 对任y1, y2?Y，y1≠y2，假设存在使 x = f-1(y1) = f-1(y2) 则x, y1, x, y2?f，且y1≠y2 这与f为函数矛盾。故f -1 (y1 ) ≠ f -1 (y2),即f -1: Y?X为单射。 即f -1是双射。 定义4-2.1 设f ：X→Y是一个双射函数，称 Y→X的双射函数f c为f的逆函数，记为f -1 。 定义4-2.2 设函数f ：X→Y, g：W→Z,若f (X)?W，则 g ? f ={x,z|x?X∧z?Z∧(?y)(y?Y∧y= f (x)∧ z=g(y))},称g在函数f 的左边可复合。 一．逆函数 例：设A={1,2,3},B={a,b,c},f:A ?B为 f={1,a,2,c,3,b} 则 f-1={a,1,c,2,b,3} 。 若 f={1,a,2,b,3,b} 则f的逆关系 fc={a,1,b,2,b,3}就不是一个函数。 例: 设X={1,2,3}，Y={p,q}, Z={a,b}, f={1,p, 2,p,3,q}, g={p,b,q,b}，求 g ? f 。 解： g ? f ={1,b,2,b,3,b} 二．复合函数 P153 定理4-2.2 两个函数的复合是一个函数。 证明：设： g: W?Z ， f: X?Y，g在函数f左边可复合，即f(X) ?W。 a)(象存在性） 对于任意x?X，因为f为函数，故必有唯一的序偶x,y使y=f(x)成立，而f(x)?f(X)即y=f(x)?W 又因为g是函数，故对任意y?W，必有唯一序偶y,z使z=g(y)成立， 根据复合定义，x,z?gof，即X中每个x对应Z中的某个z。 b)(象唯一性) 假定gof中包含序偶x,z1和x,z2且z1?z2， 这样在Y中必存在y1和y2，使得在f中有x,y1和x,y2,在g中有y1,z1和y2,z2。 因为f是一个函数，故y1=y2。 于是g中有y,z1和y,z2，但g是一个函数，故z1=z2，与假设z1?z2矛盾 即有每个x?X只能有唯一的x,z?gof。 由a),b)可知gof是一个函数。 二．复合函数 *例：设, f (x) = x+2, g (x) = x-2, h (x) = 3x 则 gof = {x, x? x?R} hogof = {x, 3x? x?R} *例：设f, g, h都为R?R的函数，且 f (x) = x+3, g (x) = 2x+1, h (x) = x/2 求fog, gof , fof, gog, hof, goh, foh, fohog. 二．复合函数 解：所求的复合函数都是R?R的函数，且 fog (x) = f (g (x)) = (2x+1) + 3 = 2x+4 gof (x) = g (f (x)) = 2(x+3) + 1 = 2x+7 fof (x) = f (f (x)) = (x+3) + 3 = x+6 gog (x) = g (g (x)) = 2(2x+1) = 4x+3 hof (x) = h (f (x)) = (x+3)/2 goh (x) = g (h (x)) = (2x)/2 = x+1 foh (x) = f (h (x)) = (x/2) + 3 foho