2016-2017学年《金版学案》数学·人教A版选修2-1练习：2.3.1双曲线及其标准方程 Word版含解析.docVIP

第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 A级　基础巩固 一、选择题 1．已知M(－2，0)、N(2，0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是(　　) A．双曲线　　　　　　 B．双曲线左边一支 C．双曲线右边一支 D．一条射线 解析：由双曲线的定义知动点P的轨迹是双曲线右支． 答案：C 2．设点P在双曲线－＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于(　　) A．22 B．16 C．14 D．12 解析：由双曲线定义知|PF2|－|PF1|＝6， 又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，由两式得|PF1|＝3， |PF2|＝9，进而易得周长为22. 答案：A 3．平面内动点P(x，y)与A(－2，0)，B(2，0)两点连线的斜率之积为，动点P的轨迹方程为(　　) A.＋y2＝1 B.－y2＝1 C.＋y2＝1(x≠±2) D.－y2＝1(x≠±2) 解析：依题意有kPA·kPB＝，即·＝(x≠±2)， 整理得－y2＝1(x≠±2)． 答案：D 4．若k∈R，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是(　　) A．－3＜k＜－2 B．k＜－3 C．k＜－3或k＞－2 D．k＞－2 解析：由题意可知，解得－3＜k＜－2. 答案：A 5．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足1·2＝0，|1|·|2|＝2，则该双曲线的方程是(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：A 二、填空题 6．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________． 解析：由双曲线－＝1可知a＞0，且焦点在x轴上． 根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0， 解得a＝1或a＝－2(舍去)，故实数a＝1. 答案：1 7．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． 解析：设右焦点为F1，依题意，|PF|＝|PF1|＋4， 所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9. 答案：9 8．双曲线－＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m＝________． 答案：7或－2 三、解答题 9．双曲线C与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(，4)． (1)求双曲线C的方程； (2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积． 解：(1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)， 设双曲线的方程为－＝1，则a2＋b2＝32＝9.① 又双曲线经过点(，4)，所以－＝1，② 解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)， 所以所求双曲线C的方程为－＝1. (2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝，C＝3. 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4， 平方得m2－2mn＋n2＝16.① 在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos 120°＝m2＋n2＋mn＝36.② 由①②得mn＝， 所以△F1PF2的面积为S＝mnsin 120°＝. 10．如图，已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－， 所以|MC1|－|MC2|＝2， 又C1(－4，0)，C2(4，0)， 所以|C1C2|＝8.所以2＜|C1C2|. 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)、C2(4，0)为焦点的双曲线的右支． 因为a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14. 所以点M的轨迹方程是－＝1(x≥)． B级　能力提升 1．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为(　　) A．－1＜k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞1或k＜－1 答案：A 2．已知曲线x2－y2＝1的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|＋|PF2|＝________． 解析：由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2， 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4. 在△F1PF2中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60° 即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(2)2＝8， 所以|PF1|·|PF2|＝4. 所以(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1