2016-2017学年《金版学案》数学·人教A版选修2-1练习：2.3.2第1课时双曲线的简单几何性质 Word版含解析.docVIP

第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 A级　基础巩固 一、选择题 1．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．5 解析：如图所示，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，当点P与双曲线右支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝. 答案：C 2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　) A．－ B．－4 C．4 D. 答案：A 3．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是(　　) A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：令x2－＝0，则y＝±x. 答案：C 4．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为的双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由离心率为， 所以e2＝＝＝1＋＝2， 即a＝b， 故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 答案：D 5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则它的离心率为(　　) A. B. C. D．2 解析：由题意知，这条渐近线的斜率为，即＝， 而e＝＝ ＝＝. 答案：A 二、填空题 6．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是__________________________________________． 解析：依题意设双曲线的方程x2－＝λ(λ≠0)， 将点(2，2)代入求得λ＝3， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 7．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________． 解析：双曲线方程可变为－＝1， 则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝， 又因为e∈(1，2)，则1＜＜2，解得－12＜k＜0. 答案：(－12，0) 8．若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e＝，则其渐近线方程为_______________________________________________． 答案：y＝±x 三、解答题 9．焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是，求此双曲线的标准方程． 解：设双曲线方程为x2－y2＝a2(a＞0)，则它的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(a，0)，(－a，0)． 所以＝，a＝. 所以双曲线的标准方程为－＝1. 10．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，＝12，其离心率为2，求双曲线的标准方程． 解：设双曲线方程为－＝1. 因|F1F2|＝2c，而e＝＝2. 由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c. 由余弦定理，得 (2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2＝ (|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)， 化简，得4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|. 又＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝12， 所以|PF1|·|PF2|＝48. 即3c2＝48，c2＝16，得a2＝4，b2＝12. 故所求双曲线的方程为－＝1. B级　能力提升 1．若0＜k＜a2，则双曲线－＝1与－＝1有(　　) A．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D．相同的焦点 答案：D 2．求与双曲线－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程_____________________________________________________． 解析：设与－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程为－＝λ，则－＝λ， 从而有λ＝，所求双曲线的方程为－＝1. 答案：－＝1 3．双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围． 解：由题意，知直线l的方程为＋＝1， 即bx＋ay－ab＝0. 因为点(1，0)到直线l的距离d1＝，点(－1，0)到直线l的距离d2＝ . 所以s＝d1＋d2＝＝. 由s≥c，得≥c，即5a≥2c2. 于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0. 解得≤e2≤5. 因为e＞1，所以e的取值范围是.