第二讲数字控制器设计的基础理论.pptVIP

式（80）即为离散状态方程。与(63)式比较可知，稀疏矩阵 （81） （82） 可见系数矩阵A、B与采样周期有关 3.数字控制系统稳定性分析 稳定是控制系统的最基本要求，它是保证系统能正常工作的首要条件。无论是连续控制系统还是数字控制系统，稳定性都是最重要的性质之一。本节将首先介绍稳定性定义，然后介绍几种判别数字控制系统稳定性的判据。 3.1 稳定性定义 设数字控制系统可由下列状态方程来描述 (83) 其中 为n维向量， 可为线性或非线性、时变或非时变函数，当其不显含u(k)时，称系统为自由系统，当f不显含k时，称系统为自持系统，一个自由、自持的系统称为自治系统。 设 是自由系统 （84） 的解，其中X0，t0是初始条件，k是被观察时刻，有下式成立 （85） 若Xe为方程（84）的一个常数解，则定义它为该系统的平衡状态，即 （86） 如果系统是线性定常的，即 （87） 那么当A为非奇异阵时，系统只有一个平衡状态；如果A为奇异阵时，系统存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个或多个平衡状态，这些平衡状态对应于方程（86）的解中 稳定性定义： 如果对于任意给定的实数ε0，都存在一个实数?0，使得对于使 成立的初始状态X(i0)，其解 对于所有的i≥i0，式 成立。则称Xe为李亚普诺夫稳定。 李亚普诺夫稳定性指出：若平衡状态Xe为稳定的，则任何在Xe的邻域内的轨迹或解，必须随时保持与平衡状态任意地紧密接近。 如果平衡状态Xe是在李亚普诺夫意义下稳定地，对任意i0及足够接近Xe的X(i0)，都有 （88） 则称平衡状态Xe是渐近稳定的。对于所有的初始状态系统最后都能收敛于平衡状态，则称平衡状态Xe是在大范围内渐近稳定的。 3.2数字控制系统稳定性分析 1．根判别法 连续线性定常系统的渐近稳定性的充分必要条件是闭环系统的极点均在S平面的左半区域内，或闭环系统的所有特征根均具有负实部。同样可以根据数字闭环系统的极点分布情况来判断其稳定性。 对于以脉冲传递函数形式来描述的定常数字系统，稳定的充分必要条件是闭环脉冲传递函数的所有极点位于Z平面的单位圆内，即|pi|1。在单位圆上有重极点或在单位圆外有一个以上的极点，系统是不稳定的；在单位圆上有一对复极点或一个实极点，系统是临界稳定的。 对于以状态方程来描述的系统（参见式63），若其特征方程式 （89） 的根?i（i＝1，2，…，n）满足 （90） 则线性定常数字系统是渐近稳定的。 对于简单的系统，可以直接求出系统的极点或特征方程的根，但实际系统常常比较复杂，很难直接求出极点值，就产生了几种稳定性的判别方法，不需要直接求出系统的极点即可判定系统的稳定性，如朱利（Jury）判据、劳斯（Routh）判据等 2.李亚普诺夫第二方法 对于离散非线性系统 （91） 设存在连续函数V(x)，V(0)＝0，且满足下列条件： 对任意x≠0，V(x)是正定的 对任意x≠0，沿轨线 （92） 为负定。则称V(x)是系统（91）的李亚普诺夫函数。 设系统（91）存在一个李亚普诺夫函数，则它的平衡状态Xe是渐近稳定的，若当||X||→∞时，有V(x) →0，则系统是大范围内渐近稳定的。 在使用上述定理时，主要的问题是寻找合适的李亚普诺夫函数，但通常这是比较困难的事情。但对线性定常离散系统，可以采用下面的一种简单方法检验。 设有线性定常离散系统 （93） 如果给定任一对称正定阵Q，存在一个正定对称矩阵P满足 （94） 那么系统是渐近稳定的；反之，如果线性定常系统是渐近稳定的，那么对于任何给定的正定阵Q，存在一个正定阵P，满足（94）式。 李亚普诺夫函数 例：利用李亚普诺夫第二方法分析系统的稳定性 解：显然原点是一个平衡点，选取Q＝I，由方程（94），有 得到方程组 解出各未知数，得矩阵 P为正定阵，所以系统在原点为渐近稳定。可选取其李亚普诺夫函数为 1.徐丽娜编著.数字控制.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1991年 2.蒋静坪编著.计算机实时控制系统.杭州：浙江大学出版社，1992年 3.刘明俊编.数字控制系统原理——分析与设计.长沙：国防科技大学出版社，1990年 4.顾钟文,孙优贤等编著,高级过程控制,浙江大学出版社 5.金以慧,过程控制,清华大学出版社. 6