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第一章 第一章习题答案与提示（27） 2.将下列事件用 A , B , C 表示: 1.化简 解: (1) A与B都发生 , 而C不发生. (2) A发生 , 而B,C不发生. (3) 三个事件中恰好有一个发生. (4) 三个事件至少有一个发生. (5) 三个事件中恰好有两个发生. (6) 三个事件至少有两个发生. (7) 三个事件中不多于两个事件发生. (8) 三个事件都不发生. (10) 三个事件中不多于一个事件发生. (9) 三个事件都发生. 解: 由 可得 3.已知 由于 则A , B , C全不发生的概率是多少? 又由于 所以 因此A , B , C 全不发生的概 率为: 解: 取两双 , 因此所求概率为: 4.从6双不同的鞋子中任取4只, 求: (1)其中恰有一双配对的概率; (2)至少有两只鞋子配成一双的概率. (1) 先从6双中取出一双 , 两只全取; 再从剩下的5双中任 每双中取一只 , 则所含样本点数为: (2)设 B 表示“至少有两只鞋配成一双”,则 能被10整除的事件为AB , 5. 设 n 次抽取中取到可被2整除的数的事件为A , 取到可被5整除的数的事件为 B , 求取出这 些数字的乘积能被10整除的概率? 解: 在一次抽样中取到的数可被2整除的概率为 不能被2整除的概率为 所以有 则取出的数的乘积 从数字1,2,…,9中有放回地取出n个数字, 由于作放回抽样 , 率为: 不到可被2整除的事件的概率为: 即 类似可知: 在n次抽取中取到的数既不能被2也不 能被5整除的事件的概率为: 因此所求概率为: 每次抽样相互独立, 在 n 次抽取中都取 在n 次抽取中都取不到可被5整除的事件的概 6. 则?为正方形: ” 的概率. 解: 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1. A 表示“两数之 如图示: 在区间(0,1)中随机地取两个数, 求事件“两数之和小于 用x , y 表示从(0,1)中取出的两个数, 由几何概率知: A为区域: 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1, ”的事件, 和小于 7.设事件A与B互不相容, 且 P(A) = p , P(B) = q , 求下列 P(AB) , 解: 事件的概率: 由于A与B互不相容, 所以 则有 由于 所以 由于 所以 则有 是多少? 由于 所以 8. 在一所学校里数学不及格的学生占15% , 语文不及格 这两门都不及格的学生占4% . 的学生占5% , 问: (1)对于该校来说“数学不及格”与“语文不及格” 是两个 相互独立的事件吗? (2)已知该校一学生数学不及格, 他语文也不及格的概率 (1) 设 A 表示数学不及格的事件 , B 表示语文不及格的事件. 由于 所以数学不及格与语文不及格不是相互独立的事件. (2) 则有: 数学不及格的条件下语文也不及格的概率为: 解: 9 . 今从中任取两件, 若M件产品中有m件废品, 求 (1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下, 另一件 也是废品的概率; 设A={两件中有一件是废品}, 解: 则有M ? m 件正品, B={两件都是废品}, (1) M件产品中有m件废品, (2)已知取出的两件中有一件不是废品的条件下, 另一 件也是废品的概率; (3)取出的两件中至少有一件废品的概率. 则 故所求概率为: (2) 设C ={两件中有一件不是废品}, D ={两件中恰有一件废品}, 则有 (3) 设E ={取出的两件中至少有一件废品} 则有 10 . 0 P(B) 1, 设 0 P(A) 1, 问A与B是否独立? 解: 因为 所以 由于 所以 则有 即有 因此A与B相互独立. 某种动物存活15年以上的概率为0.8 , 11. 存活25年以上 的概率为0.5 , 问现在15岁的这种动物活到25岁的概率 为多少? 解: 设 A = {该动物存活15年以上}, B = {该动物存活25年以上}, 则有 P(A) = 0.8 , P(B) = 0.5 , 依题意要求 P(B|A) = ? 某仓库有同样规格的产品12箱 , 12. 其中有6箱、4箱、 2箱分别是甲、乙、丙三个厂生产的 , 率分别为 且三个厂的次品 解: 现从这12箱中任选一箱, 再从该箱 中任取一件产品, 求取得的为次品的概率. 设 分别表示取到甲,乙,丙三个厂产品的事件, 依题意有: 则 构成一完备事件组. 再设B为取到次品的事件. 由全概率公式有: 设甲袋中有a 个白球 , 13. b个黑球; 乙袋中有?个白球, 从甲袋中任取一球放入乙袋中, ?个黑球. 解: 再从乙袋中任 取一球, 试求最后取到的为白球的概率. 设 A 表示从甲袋任取一球,取到的是白球的事件; 依题意有: 则 构成一完备事