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8-9多元函数微分法
习题课 一、 基本概念 1. 已知 二、多元函数微分法 解： 三、多元函数微分法的应用 练习题： 2.在第一卦限作椭球面 令 3. 在第一卦限内作椭球面 * * 第八章 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规律 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 求出 的表达式. 解法1 令 即 解法2 以下与解法1 相同. 则 且 1. 多元显函数求偏导和高阶偏导 2. 复合函数求偏导 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 隐函数求偏导 将其余变量固定，对该变量求导。 4、求方向导数 练习：P167 79 84 103 108 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数 1.在几何中的应用 求曲线的切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 1. 在曲面 并写出该法线方程 . 提示: 设所求点为 则该点的法向量为 利用 得 平面 法线垂直于平面 点在曲面上 的切平面, 使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 解: 设 切点为 则切平面的法向量为 即 切平面方程 问题归结为求 在条件 下的条件极值问题 . 设拉格朗日函数 切平面在三坐标轴上的截距为 由实际意义可知 为所求切点 . 唯一驻点 的切平面 使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积. 提示: 设切点为 用拉格朗日乘数法可求出 则切平面为 所指四面体围体积 V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大, 故取拉格朗日函数 (见2)
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