数理方程Sturm-Liouville问题数理方程Sturm-Liouville问题.pdfVIP

Sturm-Liouville问题 在前面几节中，我们讨论过常微分方程X (x)X (x) 0 的固有值问题 以后，我们还将研究如下的方程 d dy v2 (x )(x )y 0 贝赛尔方程 dx dx x d  2 dy d  d (1x )  y 0 d sin d sin 0 勒让德方程 dx  dx   它们都可以归纳为下面的一般形式 d dy (p(x) )((x)q(x))y 0 dx dx 这种类型的方程称为Sturm-Liouville型方程 (简称S-L 型) (x)称为权重函数 一般 (x) 0,(x) 0 第三章 Sturm-Liouville问题 22 d dy (p(x) )((x)q(x))y 0 dx dx S-L型方程附加上齐次的第一类、第二类、第三类边 界条件，或者是自然边界条件，就构成S-L型固有值 问题  称为固有值 满足S-L型方程及相应的边界条件的非零解就是固 有函数 第三章 Sturm-Liouville问题 33 Sturm-Liouville固有值问题的共有性质 d dy (p(x) )((x)q(x))y 0,x [a,b]加上合适的边界条件 dx dx 性质1 如果(x)是固有函数, c是不为零的常数, 则c(x)也是固有函数. 性质2 如果p(x)及其导函数连续，q(x)连续或者最多在 边界有一阶极点，则存在无限多个固有值       ... 1 2 3 性质3 所有的固有值为非负实数，即   0 n 性质4 对应于不同的固有值 m 和 n 的固有函数 y (x) m 和y (x)在区间[a,b]上带权(x)正交， n b 即 y (x)y (x)(x)dx 0 a m n 第三章 Sturm-Liouville问题 44 Sturm-Liouville固有值问题的共有性质 d dy (p(x) )((x)q(x))y 0,x [a,b]加上合适的边界条件 dx dx 性质5 固有函数系 y (x)在区间构成一个完备的正交 n 函数系. 即：函数f(x)如果具有连续一阶导数和逐段连 续二阶导数且满足固有函数族所满足的边界条 件，则必可展开为绝对且一致收敛的级数