数学物理方程——4 热传导方程的建立数学物理方程——4 热传导方程的建立.pdfVIP

数学物理方法 抛物型方程的建立 2.3 抛物型方程的建立 1.热传导方程 推导固体的热传导方程时， 需要利用能量守恒定律和关于热传导的Fourier定律： 热传导的Fourier定律： dt 时间内，通过面积元 dS 流入小体积元的热量 ∂u dQ 与沿面积元外法线方向的温度变化率 成正比 ∂n 也与 dS 和 dt 成正比，即： ∂u dQ =−k (x, y, z) dsdt =−k ∇u ⋅dSdt ∂n 式中 k 是导热系数 数学物理方法 抛物型方程的建立 k为热传导系数。 其中 n 为曲面 ds 的外法向向量， 故从 t 到t 这段时刻流入曲面内部的热量为 1 2 t2 ⎡ ∂u ⎤ =⋅ Q k ds dt. 1 ∫ ∫∫⎢ ⎥ t S 1 ⎣ ∂n ⎦ 又，区域 Ω 内温度升高吸收的热量为 Q cρ u(x,y ,z ,t ) =−u (x,y ,z ,t ) dxdydz. 2 ∫∫∫ [ 2 1 ] Ω 数学物理方法 抛物型方程的建立 Q cρ u(x,y ,z ,t ) =−u (x,y ,z ,t ) dxdy dz. 2 ∫∫∫ [ 2 1 ] Ω ⎡ t2 ∂u ⎤ c x y z t dt dxdydz ρ ( , , , ) ∫∫∫ ∫⎢ t ⎥ Ω ⎣ 1 ∂t ⎦ t2 ⎡ ∂u ⎤ c x y z t dxdydz dt ∫ ∫∫∫⎢ ρ ( , , , ) ⎥