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探测与成像技术：图像重建的迭代算法及其应用 数学的价值 张恭庆北京大学2014年11月  数学的发展 十九世纪以前的数学“基本上”研究现实世界的数量关系与空间形式。 此时，数学中出现了一些超越现实世界的抽象对象：虚数、群、四元数、非欧几何、高维空间等， 同时也为数学建立了严密的基础，得以 在更抽象、更深层次上理解已有的结果。 但大多数的数学家关心的还是现实世界中的数学问题。 P. * 数学结构 然而实际问题中出现的问题往往太复杂。 例 如描写 自然现象的大量微分方程无法求解（解析解或数值解）。 相反，人类悟性的创造物的引入发挥了意想不到的作用（如代数基本定理、三等分角问题的解决等）。 数学的研究对象开始逐渐由“人类直接经验中的对象”向“人类悟性的创造物”转化。 数学结构 公理化方法 Hilbert ：“几何学基础”，(关联、次序、全合、平行、连续等五类公理， 公理的相容性与相互独立性) Noether：抽象代数学. 优点： 条理清晰、把有内在联系的概念、理论、方法整合起来。 把已有的理论提高到一个新的高度。 在集合论的基础上，抽象元素之间的“关系”和“运算法则”构成的“数学结构”。 数学结构 这些抽象元素不一定是“数”或“形”。 数学研究的对象不必属于“现实的客观世界”而是“一切合理的世界。” 数学开始分为“纯粹数学”与“应用数学”。 悟性的自由创造使数学取得了前所未有的辉煌成就。 Riemann流形 、 拓扑结构、 Hilbert 空间 、群、域、算子、 谱、解析函数、抽象测度与概率论、三角级数等等。 数学建模 处理实际问题的需要。 到了20世纪后半叶， 由于快速电脑的出现使复杂、大量的计算 成为可能。 什么是数学建模？ 用数学的语言和方法， 通过抽象、近似、 简化把错综复杂的实际问题转化为合理的数学结构。 根据物理规律：列方程—解方程， 就是数学建模。 但可以通过解析表达式或定性地把解研究清楚的例子很少， 寻求数值解。 通过数据用统计方法寻找数量之间的关系 抓出主要因素之间的数量关系， 略去次要因素， 用数学方法转化、处理， 电脑速度-容量。 也是数学建模 数学建模 数值模拟与科学实验 相辅相成， 成为重要的科技手段。 航天航空、 水坝桥梁、交通管理、灾害评估、。。。。 社会心理、动物行为、生态环境、。。。。 群鸟飞翔 有没有“头鸟”？ 建模原则： 1. 吸引到栖息地—愈近，吸引力愈大， 2. 鸟与鸟之间有吸引力， 太靠近时，变为排斥力， 3. 希望保持固定速度飞翔， 4. 受随机因素干扰。 计算机模拟结论与实际鸟飞路径非常相似： 没有理由认为 鸟群飞行一定有“首领”。 数学建模 利用数学建模，数学广泛地应用于各种领域： 金融、保险、交通、运输、石油勘探与开采、 环境、生态、遥测遥感、 新材料、 复合材料、 信息安全、信息传输、图像处理、图像、语音识别、 网络、网页有哪些信誉好的足球投注网站、商业广告、反恐侦破、大数据、 医疗诊断、手术方案、药物检验、药物分子设计、 传染 病的规律与防治， 神经网络、DNA序列解读、 企业管理、对策、 智能模拟、作战演习、文物修复、考古等。 数学建模 模型在表达问题的本质方面有突出的作用。“创建一个好的模型正如证明一个深刻的定理一样有意义。” 它是一门真正的数学艺术。在正确反映事物的规律与实际可处理之间寻求一种平衡。 O 在应用数学结论与实际问题时一定要注意：数学是一门“形式科学”， 数学模型只是实际事物的一种简化， 切不可把数学上的结论误为真理。 P. * 数学建模 建立了数学模型以后， 如何解决实际问题，还要靠数学的理论和方法。 特别是对于工程中的问题， 有了描写实际问题 的数学 模型， 人们还要根据需要提出种种控制、限制手段， 运 用数学方法，优化参数，使得工程 的指标达到预想的目的。 理论==方法==算法==程序==计算 P. * 数学与科学、技术 利用“模型”，使得数学研究的对象在“数”与“形”的基础之上又有所扩充. 各种“关系”， 如“语言”、“程序”、 DNA“排序”、“选举”、“动物行为”等都能作为数学研究的对象. 数学成为一门形式科学 高斯:“数学既是科学的女皇， 也是科学的仆人” 1. 语言 “大自然的规律是用数学书写的”—伽利略 （Galileo G .） 数学家就像法国人， 凡是你告诉他们的，他们都吸收并翻译成自己的语言—而且从那时起， 这些东西就彻底改观了--歌德（Von Goethe,J.W.） 数学上的概念有其抽象性、广泛性和确切性，因此有自己的表达方式。 数学与科学、技术 “数值模拟”与“科学实验”相互配合，相辅相成， 成