7-1-定积分概念与性质.pptVIP

对定积分的补充规定 说明 三、定积分的性质 在下面的性质中, 假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小． 证 (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 性质1 证 性质2 性质1和性质2称为 线性性质. 补充 例 (定积分对于积分区间具有可加性) 则 性质3 假设 的相对位置如何,上式总成立. 不论 * * 第一节 定积分的概念与性质 定积分问题引例 定积分的定义和几何意义 小结 定积分的性质 * * 1.曲边梯形的面积 求由连续曲线 一、定积分问题引例 矩形面积 梯形面积 用矩形面积 梯形面积． （五个小矩形） （十个小矩形） 思想 以直代曲 显然,小矩形越多, 矩形总面积越接近曲边 近似取代曲边梯形面积 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程, 注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 采取下列四个步骤来求面积A. (1) 分割 (2) 取近似 长度为 为高的小矩形, 面积近似代替 在每个小区间 (3) 求和 曲边梯形面积A的近似值 (4) 求极限 则曲边梯形的面积: 2.求变速直线运动的路程 思想 以不变代变 设某物体作直线运动, 已知速度 是时间间隔 的一个连续函数, 求物体在这段时间内所经过的路程. 思路 把整段时间分割成若干小段, 每小段上 速度看作不变, 求出各小段的路程再相加, 便 得到路程的近似值, 最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值． (1) 分割 (3) 求和 (4) 取极限 路程的精确值 (2) 取近似 表示在时间区间 内走过的路程. 某时刻的速度 上两例共同点: 2) 方法一样; 1) 量具有可加性, 3) 结果形式一样. 二、定积分的定义 设函数f (x)在[a,b]上有界, 在[a,b]中任意插入 1.定义 若干个分点 把区间[a,b]分成n个小区间, 各小区间长度依次为 在各小区间上任取 一点 作乘积 并作和 记 (1) (2) (3) (4) 若当 上述和式的极限存在, 且此极限值与 的分法无关, 与点 的取法无关, 则 被积函数 被积表达式 记为 积分和 此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的 定积分. 积分下限 积分上限 积分变量 [a,b]积分区间 称函数f (x)在区间[a,b]上是可积的, 并称 注意： 积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关. 定义中区间[a,b]的分法和 的取法是任意的. 今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理. (2) (1) (2) (3) 关于函数的可积性 可积. 且只有有限个间 可积. 断点, 充分条件 (1) 有界. 必要条件 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 2. 几何意义 几何意义 定积分 是由 轴所围各 封闭部分 “有号面积” 的代数和. 更准确地说 — 例 解 物理意义 t = b所经过的路程 s. o x y 作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻 定积分 表示以变速 *