2.42个准则重要极限.pptVIP

第四节 数列的夹逼准则 2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) 二、 两个重要极限 注 例3. 求 例5. 求 先证数列的情形： 根据准则 2 可知数列 例6. 求 例8. 求 3、两个重要极限 思考与练习 * * 二、 两个重要极限 一、夹逼准则和单调有界原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 第二章 定理1. 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、2个准则1、夹逼准则 例1 求下列数列的极限： 解 (1) 由于 因此 注意到 由夹逼定理可得 (2) 注意到 ( 证明略 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如数列 由准则?? 知 及 分别是单调减少且下界 为1及单调增加且上界为1的数列, 存在. 实际上 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 亦即 时， 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束 当 时 利用变量替换可导出上述极限的一般形式： 解: 例4. 求 解: 令 则 因此 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 说明: 由变量替换原理知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明数列 极限存在 . 证: 利用二项式公式 , 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 大 大 正 又 比较可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有极限 . 原题 目录 上页 下页 返回 结束 又 注:这个极限值被瑞士数学家欧拉首先用字母e(是一个无理数, 其值用e = 2.7182818284……)来表示, 即 证: 当 时, 设 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再证 当 则 易证得 故 说明: 此极限也可写为 时, 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 若 lim ?(x) = 0 , lim g(x) = ∞ 且 lim ?(x)g(x) = m, 则 为使计算简化, 我们给出(不证明)上面公式的一 个对“1∞” 型非常适用的结论: 利用变量替换可以导出上述极限的一般形式: 解: 令 则 说明 ：若利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原式 例7.求下列极限 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 注: 代表相同的表达式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1、 数列（函数）极限存在的夹逼准则 2、数列的单调有界原理 填空题 ( 1～4 ) 第七节 目录 上页 下页 返回 结束