山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料 第三编 导数及其应用 3.4 定积分的简单应用（教师）理.docVIP

高三数学（理）一轮复习 教案 第三编 导数及其应用 总第15期§3.4 定积分的简单应用 基础自测 1.将由y=cosx,x=0,x=,y=0所围图形的面积写成定积分形式为 . 答案 cosxdx+|cosxdx| 2.一物体沿直线以v=3t+2 (t单位：s,v单位：m/s）的速度运动，则该物体在3 s～6 s间的运动路程为 m. 答案 46.5 3.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是N，变力F做的功W为 J. 答案 10 4.曲线y=cosx（ 0≤x≤）与坐标轴所围成的面积是 . 答案 3 5.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为（x）=x3（取细棒的一端为原点，所在直线为x轴），棒长为1，则棒的质量M为 . 答案 例题精讲 例1 求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积. 解 由方程组解出抛物线和直线的交点为（2，2）及(8,-4). 方法一 选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2 在A1部分：由于抛物线的上半支方程为y=, 下半支方程为y=-x，所以 S=［-(-)］dx=2xdx =2·x|=， S=［4-x-(-)］dx =(4x-x2+x)|=, 于是：S=+=18. 方法二 选y作积分变量， 将曲线方程写为x=及x=4-y. S=[（4-y）-]dy=(4y--)| =30-12=18. 例2 （14分）如图所示，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值. 解 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标x1=0,x2=1,所以抛物线与x轴所围图形的面积 S=（x-x2）dx=()| =-=. 6分 抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为 x1′=0,x2′=1-k, 9分 所以=（x-x2-kx）dx =| =(1-k)， 12分 又知S=，所以(1-k)=， 于是k=1-=1-. 14分 例3 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min内所行驶的路程. 解 由速度—时间曲线易知， v（t）= 由变速直线运动的路程公式可得 s=3tdt+30dt+(-1.5t+90)dt =t2|+30t|+（-t2+90t）| =1 350 (m). 答 此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m. 巩固练习 1.求抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积S. 解 方法一 由得抛物线与直线的交点为P（，Q（9，3）（如图）. ∴S=［-(-)］dx+(-)dx =2dx+(-+)dx = |+（x-+|=+=. 方法二 若选取积分变量为y，则两个函数分别为x=y2,x=2y+3.由方法一知上限为3，下限为-1. ∴S=(2y+3-y2）dy=（y2+3y-y3)| =(9+9-9)-(1-3+)=. 2.如图所示,阴影部分的面积是 . 答案 3.一物体按规律x=bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x=0运动到x=a时，阻力做的功. 解 物体的速度v=x′(t)=(bt3)′=3bt2, 媒质阻力f阻=kv2=k·（3bt2）2=9kb2t4.(其中k为比例常数，k＞0) 当x=0时，t=0，当x=a时，t=t1=, ∴阻力做的功是： W阻=f阻dx=kv2·vdt =kv3dt=k（3bt2）3dt =kb3=k=ka2. 回顾总结 知识 方法 思想 课后作业 一、填空题 1.如图所示，阴影部分面积为 . 答案 ［g(x)-f(x)］dx+［f(x)-g(x)］dx 2.设f（x）=则f（x）dx= . 答案 3.设f(x)=sintdt,则f（f（））= . 答案 1-cos1 4.一物体在力F（x）= (单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位：m)处，则力F（x）做的功为 J. 答案 46 5.一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时F(x)做的功为 J. 答案 6.函数F(x)=t(t-4)dt在［-1,5］上的最大值为 ，最小值为 . 答案 0 - 7.汽车以v=3t+2 (