北师大版九年级下册数学 3.8圆内接正多边形 素材.docVIP

圆内接正多边形 一、预习重点 1.正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做 ． 如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫 边形． 等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形． 2.圆内接正多边形的概念：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做 。 这个圆叫做该正多边形的 . 3.把一个圆等分（），依次连接各分点，我们就可以作出一个 . 4.如图，五边形是圆的内接正五边形，圆心叫做这个正五边形的 ；是这个正五边形的 ；是这个正五边形的 ；，垂足为，是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义. 二、预习练习 分别求出半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积. 三、学习目标 1、了解正多边形的概念； 2、能够进行有关圆与正多边形的计算。 四、探究练习 活动内容1： 探究1：正多边形 正多边形： ___________，_____________的多边形叫做正多边形. 正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形. 【想一想】 菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？ 求证：正五边形的对角线相等 怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？ 怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？ 怎样找圆的内接正n边形？怎样找圆的外切正n边形？ 【定理】把圆分成n（n≥3）等份： 依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？ 【类比联想】正三角形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？ 正方形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？ 那么，正n边形呢？ 探究2：正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.若n为偶数，则其为中心对称图形. 活动2：探究归纳 【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心. 正多边形的半径:外接圆的半径 正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的圆心角. 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离. 以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系? 以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。 活动内容2：典例精析 【例1】把圆分成5等份，求证： ⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形； ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形. 证明:(1）∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA， ∴AB=BC=CD=DE=EA， ∵BCE=CDA=3AB， ∴∠1=∠2， 同理∠2=∠3=∠4=∠5， 又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形. （2）连接OA，OB，OC，则 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB. 又∵AB=BC， ∴AB=BC， ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理∠Q=∠R=∠S=∠T， QR=RS=ST=TP=2PA， ∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. 【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2). 【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 因此,亭子地基的周长 在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理,可得边心距 亭子地基的面积 随堂练习 1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八边形；④正2n（n为自然数）边形；⑤任意的平行四边形.是轴对称图形的有__________,是中心对称图形的有_________,既是中心对称图形，又是轴对称图形的有_________. 2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比为_____，面积比为_____，外接圆周长比是______，中心角度数比是______. 3.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______． 4.正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的 ________． 5.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是____度， 半径是___，边