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图形的旋转与几何题的证明 西安市泾河工业园中心学校 田筱 710201 摘要：利用旋转图形的性质进行一些问题证明，从直接运用到成为转化问题的手段；从正方形、正三角形、等腰直角三角形的有关旋转证明，层层提高。 初中数学新课程标准要求通过图形的平移、旋转的基本性质的探索活动，进一步发展学生空间观念，培养操作技能，增强审美意识。其实利用旋转图形的性质进行一些问题证明时，会是我们绝路逢生的。 1．旋转图形基本性质的运用 例1．如图（1）正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H，试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后证明你的猜想。 （4） （2） 分析：要证明线段HG与线段HB相等，要么将两条线段归于两个三角形，证明他们全等；要么归于一个三角形证明等腰三角形。关键的突破是要注意利用旋转图形的性质。 证明（一）：连结AH（如图2） ∵四边形ABCD，AEFG都是正方形 ∴∠B=∠C=90° 由题意得 AG=AB 又AH=AH ∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL） ∴HG=HB 证明（二）：如图（3）连结GB（略） （3） 2．已知条件的挖掘转换与旋转的图形性质的结合 例2．如图（3），在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB、AC交于点E、F，连接EF，当∠EPF绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），△PEF也始终是等腰直角三角形吗？请你说明理由。 （3） （4） 分析：要证明EP=PF，只能证明∠FEP=∠EFP，但是无法突破：怎样转化问题呢？P是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，连接AP，考虑只要证明△AEP与 △CFP全等问题就解决了。由于△PEF的旋转，直角∠EPF不变，所以∠APE=∠CPF，结合等腰直角三角形斜边上的中线，则有PA==PC，这里旋转图形性质与已知条件的挖掘是解决问题的关键。 证明：连接PA （如图4） ∵PA是等腰△ABC底边上的中线 ∴PA⊥PC又 AB⊥AC ∴∠BAP=90°-∠P AC ∠C =90°-∠PAC ∴∠BAP=∠C 同理：由PA ⊥PC ，PE⊥PF 可得∠APE=∠CPF 由PA是直角三角形斜边上的中线，得PA= 1/2 BC=PC ∴△AEP≌△CFP（ASA） ∴PE=PF 因此△PEF始终是等腰直角三角形。 变式训练： 当∠EPF绕顶点P旋转时，E、F分别在BA与AC的延长线上，那么△PEF也始终是等腰直角三角形吗？请你说明理由。 3．图形的旋转成了我们解决问题的方法。 例1．如图（5），P是正三角形△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数？ （5） （6） 分析：仅有正三角形条件，三条线段的长度，要求∠PAC的度数，是很难着手的。如果把静止的△PAC看成绕着A点旋的三角形。即由于△ABC是正三角形，所以AB =AC，在△ABC外侧做一个三角形△ADB，利用旋转图形的性质，作∠DAB=∠PAC，AD=AP，连接DP，这样将问题转换成证明△DAP是正三角形，△BDP是直角三角形，则∠APB=∠BPD+∠DPA。 证明：在△ABC外侧作∠DAB=∠PAC，AD=AP，连接DP ∵正三角形ABC ∴AB=AC ∴△BDA≌△CPA（SAS） ∴∠PAC+∠PAB=∠BAD+∠PAB=60° ∵AD=AP ∴△DAP是等边三角形（一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） ∴∠DPA=60°，DP=AP=6 在△DPB中 DB=PC=10 PB=8，PD=6 即PD2 + PB 2 =DB2 ∴△BDP是直角三角形（勾股定理的逆定理） ∴∠BPD=90° ∴∠APB=∠BPD+∠DPA=150° 变式训练： 如图（7），P是在等腰直角三角形ABC内一点，且∠C=90 ，PB=3 PA= ，PC=1，求∠APB的度数？ （7） 总之，在通过图形的旋转性质的探索，培养学生空间观念，培养操作技能，增强审美意识的同时激励学生积极动脑善于思考，善于用数学方法解决问题，积极进取是很有必要的。 作者简介：田筱，西安市泾河工业园中心学校 ，中学一级数学教师 ， 联系电话A C B P P B C A D B A P C B A H G F E D C A B C D H E F G G A B C D H E F A F E P C B A F E P C B