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极限与连续的62个典型习题 习题1 设，求 . 解 记，则有 ，.另一方面 . 因为 ，故 .利用两边夹定理，知 ，其中 . 例如 . 习题2 求 . 解 , 即 . . 利用两边夹定理知 .　 习题3　求. 解 习题4　求 . 解（变量替换法）令，则当时，于是, 原式. 习题5 求. 解（变量替换法）令， 原式 . 习题6 求 (型)。 为了利用重要极限，对原式变形 习题7 求　. 解 原式 . 习题8　求 . 解 由于 . 而 .故 不存在。 习题9　研究下列极限 （1）. ∵　原式，其中，. ∴ 上式极限等于0，即.（2）. 因为　，, 所以 . （3）. 原式. 习题10　计算. 解 原式 . 习题11 . 习题12 已知 ，求的值。 解 首先，∴ 原式， ∴ ，而 . 习题13 下列演算是否正确？ . 习题14 求. 解 原式 . 习题15 求 . 解 ∵，，原式 = 0. 习题16 证明 （为常数）。 证 （令） . 习题17 求 . 解 原式. 习题18 求 . 解 (连续性法) 原式 . 习题19 试证方程 （其中）至少有一个正根，并且它不大于. 证 设，此初等函数在数轴上连续，在上必连续。∵ 而 若，则就是方程的一个正根。 若，则由零点存在定理可知在内至少存在一点，使.即 故方程 至少有一正根，且不大于. 习题21 求. 解 原式. 习题20 设满足且 试证 证 取使得当时有 即 亦即于是递推得 从而由两边夹准则有 习题22 用定义研究函数 的连续性。 证 首先，当是连续的。同理，当 也是连续的。而在分段点处 故 习题23 求证 . 证 ∵，而 .由两边夹定理知，原式成立. 习题24 设任取记 试证 存在，并求极限值。 证 故 由题设 由于 故单调有下界，故有极限。设 由解出（舍去）。 习题25 设 求 解 显然有上界，有下界 当 时 即假设 则 故单增。 存在。设则由得即 （舍去负值）。当时，有 用完全类似的方法可证单减有下界，同理可证 习题26 设数列由下式给出 求 解 不是单调的，但单增，并以3为上界，故有极限。设单减，并以2为下界，设 在等式两边按奇偶取极限，得两个关系 ，解出由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等，因此的极限存在，记于是故有解出（舍去负值） 习题27 设试证 收敛，并求极限。 证 显然假设则由，可解出（舍去 ）。下面证明收敛于由于 ， 递推可得 由两边夹可得故 习题28设试证 （1）存在；（2）当时，当时， 证 显然有又 单减有下界。收敛。令在原式两边取极限得由此可解出或当时，归纳假设则而，有 因此时即时）。 当时，由的单减性便知即当时，即 （当时）。 习题29 习题30 若收敛，则 证 收敛，设故必有界。设 因此而 习题31 求 变量替换求极限法 （为求有时可令而） 习题32 求 （为自然数） 解 令则 因此 习题33 求 解 令且当时故 原式 习题34 求 解 先求令 则上式 故原式 用等价无穷小替换求极限 习题35 求 解 记 原式= = 习题36 设与是等价无穷小，求证 （1）（2） 证 即 其中故 （2） 习题37 设为自然数，试证使 证 （分析：要证使即要证有根） 令，显然在上连续，于是记则 又对函数应用介值定理，知使即存在使 习题38 设证明 使 证 （分析：将结果变形） 记则 于是 或 由介值定理知 即 习题39 设且证使 证 反证法。若不存在点使即均有连续，不妨设恒有于是此与矛盾。故使 习题40 设且又证明至少有一点使 证 故在上有最大值和最小值,使 于是 由介值定理，知使 习题41 证明方程至少有一个小于1的正根。 证 设显然但 使即方程至少有一个小于1的正根存在。 习题42 设连续，求 解 故由于在=1，-1处连续，所以 习题43 试证方程至少有一个实根。 证 做函数 显然 使即在内必有实根。 习题44 求的连续区间。 （解：先改写为分段函数，结论为： 习题45 求为何值时，函数，在上处处连续。 只需讨论分段点处的连续性： 要在处连续，必有 习题46 设，定义 求 解 有下界即有又，即单减有下界，故有极限。设且有有 （舍去负根）（注意：先证明极限的存在是必要的。） 习题47 （解： 单增有上界，可解出极限） 习题48 设且证明使 证 若则取若则可取 则令必有且由零点定理知使即 习题49 (选择题)设在内有定义，连续且有间断点，则 (A) 必有间断点，(B) 必有间断点