第3节 Gauss型求积公式.pptVIP

§3 Gauss型求积公式 二、常用的正交多项式 三、Gauss型求积公式的一般理论 四 几种常用Gauss型求积公式 1、Gauss-Legendre(勒让德)求积公式 2、Gauss-拉盖尔求积公式 3、Gauss-Hermite求积公式 一般Gauss型求积公式的构造 本节(§4) 问题 表4-3 Gauss-Hermite求积公式的求积系数表 0.3936193231 0.0199532421 0.9453087204 0.5688888889 ±0.9585724646 ±2.0201828704 0 5 0.4256072526 0.0545155828 0.0009717812 0.8102646175 ±0.8162878828 ±1.6735516287 ±2.65196135630 7 0.8049140900 0.0813128354 ±0.5246476232 ±1.6506801238 4 0.2954089751 1.8163590006 ±1.2247448713 0 3 0.7246295952 0.1570673203 0.0045300099 ±0.4360774119 ±1.3358490704 ±2.3506049736 6 0.8886226925 ±0.707106781 2 Ak xk n Ak xk n 例4-9 分别用两点Gauss型求积公式计算下列积分： 解 (1) 由Gauss-拉盖尔公式系数、节点表可以求得： (2) 由Gauss-Hermite公式系数、节点表可以求得： (3) 由Gauss-拉盖尔公式系数、节点表可以求得： 例4-10 用两点Gauss型求积公式计算： 解：先作变换 用两点Gauss -Legendre求积公式，得到： 如果用复化梯形公式计算，需要将[0,1]区间1024等分。准确值为 0.946083。 前面，我们运用正交多项式的根去构造Gauss型求积公式，对于一般权函数ρ(x),要构造关于这个权正交的多项式并不容易，即使求出了相应的正交多项式，求它的根也比较困难。 在这种情况下，可以采用待定系数法，通过解非线性方程组将Gauss型求积公式的系数及节点确定下来。 例4-11 求Gauss型求积公式 解：由于上面的两点公式是Gauss型的，故应具有2n-1=2×2-1=3 阶代数精度系数。这说明上式对于 f(x)=1、x、x2、x3 精确成立，于是，我们将 f(x)=1、x、x2、x3 逐一代入上式，得到一个非线性方程组： 的系数 A1 、A2 及节点 x1、 x2 。 解此非线性方程组 得到 从而，所求的两点Gauss型求积公式为： 1.Gauss型求积公式是如何构造的？为什么n点Gauss 型求积公式具有2n-1阶代数精度？ 2.Gauss型求积公式都有哪几种类型？如何查表计算？ 3.用两点Gauss 型求积公式计算下列积分 4.实习题 编写Gauss型求积公式计算各种积分。 * 关于数值积分公式 除了用误差来分析其精确度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。为了掌握这一方法，下面先给出代数精度的概念。 定义：如果求积公式 而对于 f (x)=x n+1 不精确成立，即 则称积分公式（3.1）具有n阶代数精度。 即 对于 f (x)=x i (i=0,1,…, n) 精确成立， 例如，对于Newton-Cotes型求积公式： 当 f(x) 为不超过n次的多项式，即 f(x)=1,x,x2,.. ,xn 时均有 Rn[f]=0。 对于其误差式 可见Newton-Cotes型求积公式至少具有n阶代数精度。进一步证明可以得出：当n为奇数时，Newton-Cotes型求积公式的代数精度为n，当n为偶数时，Newton-Cotes型求积公式的代数精度为n+1。 在具有同样计算量的情况下，如果需要进一步提高数值积分的代数精度，下面介绍的Gauss型求积公式就可以实现这一目标。 由前面的讨论知道，具有n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。一般地，若对随机选取的n+1个节点作插值型求积公式也仅有n次代数精度。但是如果我们适当选取求积节点来构造求积公式，就可以提高数值积分的代数精度，这正是Gauss型求积公式的特点。 我们从以下几个方面着手了解Gauss型求积公式： 一、正交多项式 二、常见的正交多项式 三、Gauss型求积公式的一般理论