标准差和平均差的内在关系.docVIP

标准差 和 平均差的内在关系 !桂文林 伍超标  问题的提出 平均差和标准差是描述总体离散度 的两个重要指标。前者通过计算各指标 起直接的联系，方差和平均差之间限于 单位的差别也不能实现转化。为此，我们 将方差和平均差的平方比较如下： 7（!，*） +#)! +67（8，*） 可以推到：$·%’(#)!(’(+( 值对其平均数离 差 绝 对 值 的 平 均 数 ，反  )$%*’+*)（’+）*  # (-(:,; $) %- 29 * * * , - ! - * 映总体相对平均数的平均波动程度。它 由上式可以看出：在离差之间不存 *$ % )9 *% 简洁、准确、意义直观。但由于它采用的 在差异的情况下，平均差在数量上一般  29 # *% *-  * 是离差绝对值的算式形式，因而在计算 和应用方面都受到很大限制。标准差则 不会超过标准差。方差超过平均差平方 的部分是离差的方差，反映的是离差间  *$ % 8 $) % # 29 - * :,; * - *% *% 通过先平方后开方的算式很好地解决了 上述问题。客观上，它也相应增强了极端 值对变异测度的影响，提高了变异测度  的变异程度。 由于平方的作用，标准差包含了平 均差更多的离差信息。从方差中分离标  * $ * $ % :,;0)=1= 8 % 值对极端值的敏感性；更多地反应了离 差信息。在度量总体变动度时，算式手段 为度量目的服务，目的也不能脱离手段 而存在。手段和目的这对矛盾客观地存 准差，建立两者间的数量联系不仅必要 而且可行。 在实际的数据分析中，更多的是得 到离散型的样本数据。为此我们将推广 由 正 态 分 布 推 广 到 一 般 分 布 的 情 况：假设一般分布的分布函数为 （,）， 定义二阶随机控函数为： # 在于标准差和平均差的理论和应用实践 到一般的情形，使理论更接近实际。 0*1 01 （,）, )9 该 函 数 满 足 下 列 中。如何解决这一矛盾，建立起两者之间 的数量关系，实现两指标间的相互转换。 从而达到扬长避短、科学合理地利用变 异度指标，全面真实地反映总体变异度 / 令 +.(#.)!( 得到 $% ! !+. / . ! ! !+ / * * . 算式： # （*（） ） （),）0,1 )9 ?（#@）’（)#(#@） 之目的，才是问题的关键。 标准差和平均差内在关系 对于同一总体分布，标准差和平均 / . ! / $%*0 ! !+.1*0+!2+*2#2+/1* 3 /* / . !  （*（） ）)（)!） # )9 （,)）0,1 / / ?（#5）’（#)(#5） * 差两指标是从不同的角度刻画总体的变 （!+ 2*!!+ ）3 /*  异度。由于两者的意义和定义方式上存 . . ! .4 . ! 4 5 . 可证明如下： / / #（),）0,101) # ,0,1 * 在差异，因而在数值上各不相等，并且在 0/!+ )!!0+ )+ 1*1/* )9 )9 一定条件下相互 间 存 在 某 种 大 小 关 系 。 但由于总体的变动度是客观的，不同总 . . ! / . 4 . ! 4 5 .  # 0,1,0*101 体变动度之间的差异也是客观的，因而 *)!!0+.)+41* 3 /* )9 . ! 4 5 . 对不同总体的评价应该是一致的，这也 *考虑分布时标准差和平均差的比 #（,)）0,1)2012 # ,0,1 29 29 是判断指标合理的标准之一。 一般认为，标准差和平均差两类变 异 度 指 标 的 计 算 结 果 和 总 体 的 分 布 有 关。对于同属“钟形分布”的总体进行评 价时，两者在数量上虽然存在差异，但评 价的结果却是一致的。对于其它的分布 情况则要具体分析。 !不考虑分布时标准差和平均差的 比较研究 考虑连续的随机变量 #，标准差平 均差可分别表示为： $%’(#)!( *’（#)!）* +(#)!( 由于平均差和标准差之间不能建立 较研究 方差作为二阶矩是描述总体分布的 重要参数之一，尤其是正态分布的情况， 它计算简洁，具有多变量的可加性，容易 推广到多变量组合的情况。实践中，在单 变量分布未知的情况下，也可 以 通过中心极限定理得到多边量 组 合的近似正态分布。标准差是 其 中的重要参数。在这方面的研 究 和运用已很成熟，而对平均差 的 研究则略显不足，现将两者作 如 下比较： 首先，在正态分布的情况下 。 设 # 服从标准正态分布，