控制系统--第六章 系统稳定性分析.pptVIP

对于开环稳定的系统，即p＝0，此时闭环系统稳定的充分必要条件是，系统的开环频率特性G(jω)H(jω)不包围（－1，j0）点。 如果开环传递函数G(s)H(s)在[s]的右半平面有p个极点，当ω从0变化到＋∞时，其开环频率特性(jω)H(jω)逆时针方向包围（－1，j0）点p/2次，则闭环系统稳定；反之，闭环系统就不稳定。 综上所述，可以将Nyquist稳定判据表述如下： 【例6.6】单位反馈控制系统的开环传递函数为 当K1时，开环Nyquist曲线如图6.6中的a，当ω从－∞变到＋∞时，GK(jω) 逆时针方向包围（－1，j0）点一圈，由Nyquis稳定判据知闭环系统稳定。 当0K1时，开环Nyquist曲线如图6.6中的b，当ω从－∞变到＋∞时，GK(jω) 不包围（－1，j0）点，故此时闭环系统不稳定。 试讨论该闭环系统的稳定性。 图6.6 例6.6的 Nyquist图 【解】这是一个不稳定的惯性环节，开环特征方程在s的右半平面有一个根，即p＝1。 开环系统中含有积分环节，即有零特征根时，设开环传递函数为 （6.19） 6.3.3 开环含有积分环节的Nyquist图 对于Ⅰ型系统（含有一个积分环节）: ω＝0时，GK(0)=－j∞；ω＝∞，GK (∞)=0，如图6.7a； 对于Ⅲ型系统： ω＝0时，GK(0)=＋j∞；ω＝∞，GK(∞)=0，如图6.7c。 对于Ⅱ型系统： ω＝0时，GK(0)=－∞；ω＝∞，GK (∞)=0，如图6.7b； 图6.7 含有积分环节的Nyquist图 上述三种情况，其Nyquist轨迹不连续，很难说明是否包围（－1，j0）点。这时可作如下处理。把沿jω轴闭环的路线在原点处作一修改，以ω＝0为圆心，r为半径，在右半平面作很小的半圆，如图6.8。小半圆的表达式为 （其中r→0时，θ从0变到π/2），代入式（6.19）中，当 θ＝0时得 c b a 这时向量GK(jω)的模为无穷大，相角从0变化到，得到了连续变化的轨迹，如图6.7中的虚线。用Nyquist稳定判据很容易看出图中的轨迹都不包围（－1，j0）点，故闭环系统稳定。 所以，今后习惯上可把开环系统的零根作为左根处理。 图6.8 零根的处理 【例6.7】控制系统的开环传递函数为 试用Nyquist稳定判据判断该闭环系 统的稳定性。 【解】开环系统在s右半平面有一个 极点s=1，即p＝1。Nyquist曲线如图6.9所示，当ω从－∞变到＋∞时，G (jω)H (jω)逆时针方向包围（－1，j0）点一圈，故闭环系统稳定是稳定的。显然，此时的开环系统是非最小相位系统。 本例中，由于G (s)H (s)含有一个积分环节，所以Nyquist图有一个从－π/2到+π/2，半径为∞的圆弧。 图6.9 例6.7的Nyquist图 6.3.4 具有延时环节的系统的稳定性分析 图6.10为一具有延时环节的系统方框图，其中G1(s)是除延时环节以外的前向通道传递函数。 图6.10具有延时环节的系统方框图 整个系统的开环传递函数为： 其开环频率特性为 幅频特性 相频特性 由此可见，延时环节不改变系统的幅频特性，而仅仅使相频特性发生改变，使滞后增加，且τ越大，产生的滞后越多。 【例6.8】在图6.10所示的系统中，若 则开环传递函数和开环频率特性为 其开环Nyquist图如图6.11所示。 图6.11 具有延时环节的 开环Nyquist图 当τ＝0，即无延时环节时，Nyquist图的相位不超过－180o，只局限在第三象限，此二阶系统是稳定的。随着τ值增加，相位也增加，Nyquist图向左上方偏转，进入第二和第一象限。当τ增加到使Nyquist图包围（－1，j0）点时，闭环系统就不稳定了。 该系统的闭环传递函数为 则系统的特征方程为 当 时，系统处于临界稳定状态。则有 （6.20） （6.20） （6.21） 由式（6.20）解出ω=0.786,代入式（6.21）得τ=1.15。所以当τ1.15时闭环系统稳定；τ1.15时，闭环系统不稳定。 由图6.11所示的开环Nyquist图可以明显看出，串联延时环节对稳定性是不利的。因此，对存在延时环节的一阶或二阶系统，为了保证这些系统的稳定性，其开环放大系统K就只能限制在很低的范围内，同时，还应尽可能地减小延时时间τ。 【例6.9】设系统的开环传递函为 试判别该闭环系统的稳定性。 6.3.5 Nyquist稳定判据应用举例 【解】当ω=0时， ， ； ， 其开环Nyquist特性曲线如图6.12所示