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第三章 变分法 路径值集合 （实线） 允许的路径集合 （曲线） 泛函的概念 不是通常函数那样从实数到实数的映射。 而是从路径（曲线）到实数的映射。 目标泛函的概念 连续时间路径上识别一条弧，需要三样信息： 无限小的一条弧 （1）开始时间 （2）开始状态 （3）弧的前进方向 存在某个函数F，将弧值赋予弧，即从无限小的弧(曲线)到弧值(实数)的影射，表示为： 目标泛函就是弧值之和： 例：垄断企业的利润函数 垄断企业的动态需求函数： 垄断企业的总收益函数： 垄断企业的总成本函数： 垄断企业的总利润函数： 加总T期的总利润函数，得到目标泛函： 如果收益函数或成本函数随时间变化，目标泛函： 变分法的基本问题 最大化或最小化 一、欧拉方程的推导 固定初始点和固定终结点 ，函数V表示为： 一、欧拉方程的推导 步骤1 首先用 来表示V，并求导。 我们得到极值曲线的必要条件的更具体的形式： （2.14） 步骤2 和 令 和 。于是我们得到： （2.15） 把这些表达式代入（2.15），其中a=0，b=T。我们得到： （2.16） 把(2.16)应用于(2.14)，我们得到极值曲线的另一个 形式的必要条件： 欧拉方程 或 对于所有 对于所有 步骤3 因为 是任意的，令 ，得到： （2.17) 把它代入(2.18)式,即 ，得： 欧拉方程 （2.19) 具有边界条件： 例1 求下列泛函的极值曲线。 根据欧拉方程 ，可得： 根据直接积分，得 因此，极值曲线为： 可变终结点问题： 最大化或最小化 假设 是已知的最优终结时间，在 的邻近的任何值 可以表示为: 由于 是已知的并且 是一个预选的量，所以，T可以被视为 的一个函数 ，其导数为: 二、可变端点的横截条件 与固定初始点和固定终结点相比，在可变终结点中，T是 的一个函数，所以函数V中积分上限随着 的变化而变化。 推导一般的横截条件： 步骤1 （3.6) 根据（2.17）,得（3.6）式第一项: （3.6）式第二项: （3.7) 步骤2 通过把 转化为含 和 （3.8） 步骤3 把（3.8）式代入（3.7），得： （3.8） （3.7) 欧拉方程 一般横截条件 特殊横截条件 垂直终结线（固定时间水平问题） 一般横截条件 垂直终结线涉及一个固定的T，从而 又因为 是任意的，就产生的横截条件： 垂直终结线的横截条件 特殊横截条件 水平终结线（固定端点问题） 一般横截条件 又因为 是任意的，就产生的横截条件： 水平终结线的横截条件 水平终结线涉及一个固定的 ，从而 特殊横截条件 终结曲线 一般横截条件 把该式代入一般横截条件，得： 终结曲线的横截条件 终结曲线 ， 和 都未被赋予零值。 又因为 是任意的，就产生的横截条件： 特殊横截条件 截断垂直终结线 一般横截条件 对点Z1，即 ，那么终结限制 自动被满足，可直接使用截断终结线条件： 对点Z2和Z3，即 ，那么终结限制 不被满足。 最大化问题的截断垂直终结线横截条件 为什么？ 即在约束 的情况下求 的最大化。 根据求最大值的库恩塔克条件，得： 这里的 不是任意的，为什么？ 因为是求使V最大值的 在这里是变量。 库恩塔克条件： 特殊横截条件 截断水平终结线 一般横截条件 最大化问题截断水平终结线的横截条件 Tmax 对于V的最大化 用类似的证明方法 具有边界条件： 例2 求下列泛函的极值曲线。 根据欧拉方程 ，可得： 根据直接积分，得 10 y t 0 1 根据水平终结线的横截条件： 代入水平终结线横截条件。 和 （在t=T处） 通解为