第三章导数的基本应用第三节函数曲线性态的表示(1686KB).pptVIP

一. 单调性及其判定 单调增加：对任意的 若 （即 ），则称 内单调增加. 如图 1 x x y o x y o ) ( x f y = ) ( x f y = 2 x ) ( 1 x f ) ( 2 x f 第三节 函数曲线性态的表示 （图3.3.1） 单调减少：对任意的 若 （即 ），则称 内单调减少 . 如图 1 x 2 x x y o x y o ) ( x f y = ) ( x f y = ) ( 2 x f ) ( 1 x f （图3.3.2） 一般的有：若函数 连续，在 （a,b）内可导，且有 (或0)，则 在 　　　　　　　 　　 内单调增加(或单调减少). 例3.3.1 判断 在区间 内的单 调性. 解 所以 在区间 内单调增加。 二. 函数极值及其求法 若 在区间 内有定义， 且对任意的点 ∈ 都有 ，则称 为 的极大值 (极小 值)， 称为 的极大 (极小)点. 定义3.3.1 1.极值的概念 对于可导函数，从上图中可清楚地看出： 在 极小点处：左侧必有 ，右侧必有 ，且必经过 的点； 在 极大点处：左侧必有 ，右侧必有 ，且必经过 的点； （图3.3.3） 设函数 在区间 内可导，使 的点 ，称为函数 在区间 内的驻点(或 稳定点). 注意：（1）极值只是局部最值的概念； （2）极大值并非比极小值大； （3）函数在极值点左右近旁有定义，因此极值点和驻点不可能出现在区间的端点上． 2. 函数极值的求法 从上面的讨论说明：可导函数 的极值点必是 驻点，而驻点未必是极值点.例如 是函数 的驻点，但不是其极值点. 求函数的极值点可分三步： （1）确定函数的定义域； （2）求其驻点和连续且不可导点； （3）列表，再进一步确定是极大点或极小点。 例3.3.2 求 内的极值点 和单调区间. 解 ，令 ，得驻点 列表： 0 (0，2) + 0 － 0 + 极大值0 极小值 -2 区间 和 单调增加；在区间 内，曲线是单调减少. 是极大点，极大值为0； 是极小点，极小值为 例3.3.3求 的极值. 解 得驻点 且 是使 不存在的点. 列表 0 + 不存在 － 0 + 极大值 0 极小值 从表中可知， 在区间 和 内， 函数 单调增加； 在区间 内， 函数单调减少. 是极大点， 极大值为0； 是极小点，极小 值为 注意：连续且不可导点也可能是极值点；在驻点或连续不可导点的两侧，若导函数不变号，则该点不是极值点. 3. 函数最值的求法 若 在区间 上有一点 ， 对任意的点 ，都有 则称点 为 在区间 上的最大值点(最小值点)， 简称最值点； 称为最大值（最小值）,简称 最值. 注：最值点只可能出现在驻点、不可导点和端点. 所以，我们只要求出这三种点比较之，函数值最大的点称为最大值点，函数值最小的点称为最小值点。 定义3.3.2 例3.3.4 求函数 在区间 解 由例3.3.3得函数 的驻点 和不可导点 又 比较之可得:函数 的最大值为 最小值为 ． 上的最值． 例3.3.5 求 在 解 由 ，解方程 得 ． 计算得 ． 比较之得:函数 的最大值为 最小值为 ． 上的最值． 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做一个无盖的方盒如(图3.3.4)．问截掉的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大?最大容积为多少? 例3.3.6 【最大容积问题】 (图3.3.4) 解(1) 分析问题，建立函数； 设小正方形的边长为 , 则方盒底的