第三章§3.1微分中值定理(2668KB).pptVIP

* 现在对两个给定的函数 f(x)、F(x), 构造 即可证明Cauchy定理. 辅助函数 * 即为Lagrange中值定理 令 ) , ( ), ( ) ( ) ( ) ( b a f a b a f b f ? ￠ - = - x x * Cauchy定理的几何意义 注意 弦的斜率 柯西中值定理 (1) (2) 使得 切线斜率 * 例 证 分析 结论可变形为 即 满足柯西中值定理 * 四、小结 罗尔 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系: 推广 推广 这三个定理的条件都是充分条件, 换句话说, 满足条件, 不满足条件, 定理可能成立, 不是必要条件. 而 成立; 不成立. 定理 也可能 * 应用三个中值定理常解决下列问题 (1) 验证定理的正确性; (2) 证明方程根的存在性; (3) 引入辅助函数证明等式; (4) 证明不等式; (5) 综合运用中值定理(几次运用). 关键 逆向思维,找辅助函数 思考与练习 * 1. 填空题 1) 函数 在区间 [1, 2] 上满足Lagrange定理 条件, 则中值 2) 设 有 个根 , 它们分别在区间 上. 方程 * 且在 内可导, 证明至少存 在一点 使 提示: 由结论可知, 只需证 即 验证 在 上满足Rolle定理条件. 设 2. 设 * 作业 习题3-1 (132页) 7. 8. 9. 10. 11. 12. 14. 费马(1601 – 1665) * 法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出 的Fermat大定理: Fermat大定理1994年得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 , 费马引理是后人从他研究 最大值与最小值的方法中提炼出来的. 拉格朗日 (1736 – 1813) * 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一. 柯西(1789 – 1857) * 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , * 第三章 微分中值定理与导数的应用 因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数. 但每一点 的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态, 要用导数来研究函数的全部性态, 还需架起新 的“桥梁”. 中值定理(mean value theorem) 化率, 指导数在某个区间内所具有的一些重要性质,它们都与自变量区间内部的某个中间值有关. * Rolle定理 Lagrange中值定理 Chauchy中值定理 §3.1 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 推广 泰勒公式(第三节) * 本节的几个定理都来源于下面的明显的 在一条光滑的平面曲线段AB上, ⌒ 至少有 与连接此曲线两端点的弦 平行. 几何事实: 一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线 . 有水平的切线 * Rolle定理 (1) (2) (3) 罗尔 Rolle,(法)1652-1719 使得 如, 一、罗尔(Rolle)定理 * 几何解释: * Fermat引理 费马 Fermat,(法) 1601-1665 有定义, 如果对 有 那么 内 的某邻域 在点 设函数 ) ( ) ( 0 0 x U x x f , ) ( 0 存在 且 x f ￠ 函数导数为0的点也称为驻点、稳定点或临界点。 * Rolle定理 (1) (2) (3) 使得 证 所以最值不可能同时在端点取得. 使 有 由 Fermat引理, * (1) 定理条件不全具备, 注 结论不一定成立. Rolle定理 (1) (2) (3) 使得 ] 1 , 0 [ , ) ( ? = x x x f 这三个条件只是充分条件，而非必要条件 (2) 罗尔定理的