第2章n维向量(3536KB).pptVIP

? §2.3 向量组线性相关性的等价刻画 证明: (必要性) 由于n+1个n维列向量总是线 性相关的, 所以?1, ?2, …, ?n, ?线性相 关. 又因为?1, ?2, …, ?n线性无关, 根据定理 2.4可知?都能由?1, ?2, …, ?n线性表示. 第二章 n维列向量 例7. 证明: n个n维列向量?1, ?2, …, ?n线性无 关的充分必要条件是: 任何一个n维列向 量?都能由?1, ?2, …, ?n线性表示. ? §2.4 向量组的极大线性无关组 第二章 n维列向量 §2.4 向量组的极大线性无关组 一. 定义 如果向量组?1, ?2, …, ?s的部分组 满足以下列条件: , …, ? i1 ? , ? i2 ir 线性无关; , …, ? i1 (1) ? , ? i2 ir (2) ?1, ?2, …, ?s中任一向量都可由 线性表示, , …, ? i1 ? , ? i2 ir 极大线性无关组(maximal linearly independent subset). 为?1, ?2, …, ?s的一个 , …, ? i1 则称? , ? i2 ir ? ? §2.4 向量组的极大线性无关组 第二章 n维列向量 二. 有关结论 定理2.5. 秩为r的向量组?1, ?2, …, ?s一定有由 r个向量构成的极大无关组. 命题2.1. 秩为r的向量组中任何r个线性无关的 向量都构成它的一个极大无关组. ? §2.4 向量组的极大线性无关组 第二章 n维列向量 定理2.6. 一个向量组的任何两个极大无关组 都是等价的, 因而任意两个极大无关 组所含向量的个数都相同, 且等于这 个向量组的秩. 命题2.2. 一个向量组与它的任何一个极大无 关组都是等价的. ? §2.4 向量组的极大线性无关组 第二章 n维列向量 三. 计算 理论依据: (1) 命题2.1 (2) 定理1.11 (初等变换不改变矩阵的秩). 例8. 已知向量组?1, ?2, ?3线性无关, 求 ?1 ? ?2, ?2 ? ?3, ?3 ? ?1, 的一个极大无关组. ? §2.4 向量组的极大线性无关组 第二章 n维列向量 例9.设A = 3 2 0 5 0 3 ?2 3 6 ?1 2 0 1 5 ?3 1 6 ?4 ?1 4 , 求A的列向量组 的一个极大无关组. 1 6 ?4 ?1 4 0 ?4 3 1 ?1 0 0 0 4 ?1 0 0 0 0 0 解: A = 3 2 0 5 0 3 ?2 3 6 ?1 2 0 1 5 ?3 1 6 ?4 ?1 4 初等 行变换 可见A的第1, 2, 4列构成A的列向量组的一 个极大无关组. ? §2.5 向量空间 第二章 n维列向量 §2.5 向量空间 一. 向量空间(vector space)的概念 1. n维实(列)向量的全体 Rn = {(x1, x2, …, xn)T | x1, x2, …, xn?R} 关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算 满足如下8条基本性质: 关于加法: (1) 交换律; (2) 结合律; (3) ?0; (4) ? 关于数乘: (5) 1·? =?; (6) k(l?) = (kl)?; (7) (k+l)? = k? +l?; (8) k(?+?) = k? +k?. ? ? 第二章 n维列向量 §2.5 向量空间 2. 设V是Rn的非空子集, 且对向量的加法及数 乘封闭(closed), 即 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间. Rn和{0}称为Rn的平凡(trivial)子空间. 则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). ??, ??V, k?R, 有?+??V, k??V, closure conditions ? 第二章 n维列向量 §2.5 向量空间 例10. 检验下列集合是否构成向量空间. (1) V = {(x, y, 0) | x, y ? R}; (2) V = {(x,