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第九章 内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间 9.1内积空间的基本概念 教学目标: 　　1、掌握内积空间和希尔伯特空间的定义,运用定义能够证明; 　　2、掌握施瓦茨不等式与极化恒等式,并能熟练运用; 　　3、培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力; 教学重点:理解内积空间和希尔伯特空间的定义. 教学难点:证明过程及运用. 在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,还定义了两个向量的内积的运算,即若 则a与b的内积定义为: 其中 表示 的复共轭,并且内积与向量a的长度有以下关系 由内积定义,可知两个向量a与b正交等价于 .显然,在有限维复欧氏空间 中,由(1)定义的内积具有下述性质: 1. 2. 3. 在复欧氏空间 的欧几里得几何学中所用到内积的性质主要是上面三条,因此利用这三条性质,我们也在一般的线性空间中引入内积的的概念. ． ． 定义1设 是复线性空间,如果对 中任何在两个向量 有一复数 与之对应,并且满足下列条件: 1. 2. 3. 则称 为 与 的内积,称 为内积空间. 如果 是实的线性空间,则条件3就改为 从内积的定义,立即可以得到下面的等式 设 是内积空间,令 那么 是 上的范数.事实上,由内积定义(2)式,不难证明 为了证明范数不等式 ,我们首先证明施瓦茨(Schwarz)不等式: 引理1(Schwarz不等式) 设 按内积 成为内积空间,则对于 中任意向量 成立不等式 当且仅当 与 线性相关时,不等式(4)中等号才成立. 证明: 如果 ,易知对一切 因而(4)式成立.若 ,则对每个复数 ,由内积条件1,有 令 那么上式方括号中式子为0,所以 两边乘以 ,并且开方,即可得到要证的Schwarz不等式 若 与 线性相关,通过直接计算,易知(4)式中等号成立,反之,若(4)式中等号成立,假定 ,则 与 自然线性相关,若 ,令 由Schwarz不等式推导过程,易知 ,即 .所以 与 线性相关.证毕. 由Schwarz不等式,立即可知 满足范数不等式.事实上 所以 .称由(3)式定义的范数 为由内积导出的范数,所以内积空间是一种特殊的赋范空间.若 按(3)式中范数完备,则称为Hilbert空间. 设 是由内积导出的范数,通过计算,不难证明对 中任何两个向量 ,成立平行四边形公式 它是平面上平行四边形公式在内积空间中的推广.反之可以证明,若　是赋范线性空间,其中范数　对　中任何向量　　　,满足平行四边形公式(5),那么一定可在　中定义内积　　　,使　就是由内积　　　导出的范数.因此,(5)式是内积空间中范数的特征性质. 　　下面举一些内积空间的例子 　　例１　　　对　　　中任意向量　　,定义 易知 按(6)中内积成为内积空间,又由内积(6)导出的范数 即为第七章第８节例４中当 时所定义的范数,因此由第七章第８节定理２知, 成为Hilbert空间. 　　例２　.设 定义 则 按(7)中内积也成为Hilbert空间. 　　例３当 时, 不成为内积空间． 　　事实上,令 则 且 但 ,所以不满足平行四边形公式(5),这说明