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* * * * * * * * * 第一章第三节 古典概型和几何概型 在实际问题中，我们不可能，也没有必要对每个事件都做大量的试验，从而得到概率。当然也不能随便，毫无根据地就给出一个概率。 那么要问: 如何求得某事件的概率呢? 古典概型，几何概型 I. 什么是古典概率模型 如果试验E满足 (1) 试验结果只有有限种， (2) 每种结果发生的可能性相同。 则称这样的试验模型为等可能概率模型或古典概率模型，简称为等可能概型或古典概型。 一、古典概率模型 常常把这样的试验结果称为“等可能的”. ω1, ω2 , …，ωn 试验结果 你认为哪个 结果出现的 可能性大？ 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1－10 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球. 因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得 . 也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10. 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 10个球中的任一个被取出的机会都是1/10 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5 我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,…,10 . 称这样一类随机试验为古典概型. 3 4 7 9 10 8 6 1 5 2 且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同 . S={1,2,…,10} , 则该试验的样本空间 如i =2 II. 古典概率模型中事件概率求法 因试验E的结果只有有限种,即样本点是有限个: ?1,?2 ,…,?n ，其中 Ω={?1}∪{?2 }∪…∪{?n}， {?i}是基本事件，且它们发生的概率都相等。 于是，有 1=P(Ω)=P({?1}∪{?2 }∪…∪{?n}) =P({?1})+P({?2 })+…+P({?n}) =nP({?i}), i=1,2,…n。 从而，P({?i})= 1/n，i=1,2,…n。 记 A={摸到2号球} P(A)=? P(A)=1/10 记 B={摸到红球} P(B)=? P(B)=6/10 2 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5 1 3 2 4 5 6 这里实际上是从“比例” 转化为“概率” 记 B={摸到红球} P(B)=6/10 静态 动态 当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例. 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5 　　 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为： 称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 . A包含的样本点数 P(A)＝k/n＝ S中的样本点总数 事件A的概率求法 　　 这样就把求概率问题转化为计数问题 . 若用基本事件叙述，则为 A包含的基本事件数 P(A)＝k/n＝ 基本事件总数 排列组合是计算古典概率的重要工具 . 若事件A包含k个基本事件，有 P(A)=k?(1/n)=k/n。 III. 古典概模型的例 例1： 掷一颗均匀骰子， 设:A表示所掷结果为“四点或五点”； B表示所掷结果为“偶数点”。 求:P(A)和P(B)。 解： 由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3； 再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。 例2： 解: 货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自产地甲, 3件来自地乙。现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产地的概率。 从15件商品中取出2商品,共有C215 =105种取法,且每种取法都是等可能的，故n=105。 令 A={两件商品都来自产地甲},kA= C212=66, B={两件商品都来自产地乙},kB= C23 =3， 而事件:{两件商品来自同一产地}=A∪B,且A与B互斥,A∪B包含基本事件数66+3=69。 故，所求概率=69/105=23/35。 例3 ：有外观相同的三极管6只,按电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类。按下列两种方案抽取三极管两只, (1).每次抽取一只,测试后放回,然后再抽取 下一只(放回抽样); (2).每次抽取一只,测试后不放回,然后