数列综合习题1.docVIP

数列综合习题讲解 例1.已知数列的前n项和为,求数列的通项公式 例1. 当时，,当时，,经检验 时 也适合,∴ 例2.已知，求及． 例2. 解：∵,∴ ,∴ 设 则是公差为1的等差数列,∴又∵ , ∴,∴,∴当时 ∴ , 例3.已知， 求及 例3 解： 从而有 ∵,∴,, ,, ∴,∴. 例4.求和 例4.解：∴ 例5求和: 例5. 解:①② ①(②， 当时,∴; 当时， 例6. 已知数列的前项和， 求证:数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。 例13.解：, 当时,,时亦满足 ∴ , ∴首项且 ∴成等差数列且公差为6、首项、通项公式为 例7. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差. 例7. 解一：设首项为，公差为 则 解二： 由 例8.设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75, Tn为数列{}的前n项和，求Tn. 例8. 解题思路分析： 法一：利用基本元素分析法 设{an}首项为a1，公差为d，则∴ ∴ ∴ 此式为n的一次函数 ∴ {}为等差数列∴ 法二：{an}为等差数列，设Sn=An2+Bn∴ 解之得：∴ ，下略 注：法二利用了等差数列前n项和的性质 例9.三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数. 例9.解：设原来三个数为 则必有 ①,② 由①： 代入②得：或 从而或13 ∴原来三个数为2,10,50或 例10. 设{an}是等差数列，，已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求等差数列的通项an. 例10. 解题思路分析： ∵ {an}为等差数列∴ {bn}为等比数列 ∴ b1b3=b22,∴ b23=,∴ b2=,∴ ,∴ 或 ∴ 或 ∵ ,∴ ,∴ an=2n-3 或 an=-2n+5 例11等差数列{an}中，a3=12,S130,S120,(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个最大？并说明理由 解：(1)由S12=12a1+12(11d/20, S13=13a1+13(12d/20 , a3=a1+2d=12得到： 24+7d0, 3+d0 (─24/7d─3; (2)两种解法：方法一：Sn是n的二次函数，由此函数配方结合d的范围求出最大值 方法二：S12=6(a6+a7)0,S13=13a70 (a6+a70,a70(a60,a70,故当n(6时，Sn递增，n(6时，Sn递减，∴ S6最大 例12等差数列{an}中，公差d≠0,其中构成等比数列，若k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn 解：由题意知a52=a1a17,列方程得到a1=2d,公比q=a5/a1=(a1+4d)/a1=3, ∴ =a1( 3n─1, (1)； 又=a1+（kn─1）d= (2); 由(1)及(2)得kn=2(3n─1─1,∴ k1+k2+…+kn=2(1+3+32+…+3n─1)─n=3n─n─1 例13. 数列的前n项和记为已知 证明(1)数列是等比数列；() 例13. 解证（）由知 又则∴ 故数列是首项为1公比为2的等比数列. 证（） 由（I）知, 于是又,则, 因此对于任意正整数都有 等比、等差数列和的形式：