高等数学期末复习3.docVIP

一、单项选择题（将正确选项的序号填在题中横线上，每小题3分，共18分） 1．微分方程的一个特解应该具有形式 ． A． B． C． D． 2．直线与平面的关系是 ． A．直线在平面上 B．平行 C．垂直 D．三者都不是 3．空间直角坐标系中，方程表示的二次曲面是 ． A．圆锥面 B．旋转抛物面 C．旋转双叶双曲面 D．旋转单叶双曲面 4．设，转化为极坐标后， ． A． B． C． D． 5．曲面在点处的切平面平行于平面，则点的坐标为 ． A． B． C． D． 6．下列级数为绝对收敛的是 ． A． B． C． D． 二、填空题（将正确答案填在题中横线上，每小题3分，共18分） 1． ． 2．设，则 ． 3．设，则在点处方向导数的最大值是 ． 4．为所围区域的整个边界（按逆时针方向绕行）,则曲线积分 ． 5．微分方程的通解为 ． 6．曲线的平行于平面的切线方程为 ． 三、计算题（每小题7分，共56分） 1．求微分方程的通解． 2．一平面经过原点和点，并且与平面垂直，求该平面的一般方程． 3．设，其中具有二阶连续的偏导数，求． 4．计算三重积分，其中是由曲面与平面所围成的空间闭区域． 5．计算曲面积分，其中是曲面被平面所截得的有限部分． 6．计算曲面积分，其中是曲面的外侧． 7．判定级数的收敛性． 8．求幂级数的收敛域． 四、应用题（本小题8分） 在抛物线上求一点，使该点到点的距离最短． 一、1．B 2．A 3．D 4．C 5．C 6．C 二、1． 2． 3． 4． 5． 6． 三、1．解：原方程可变形为，其中， 于是通解为， 2．解：平面的法向量为， 所求平面的法向量，取一点，则平面的一般方程为． 3．解： 4．解： 原式． 由比较审敛法的极限形式得级数也收敛． 5．解：，则原式 6．解：，由高斯公式得原式 7．解：，而 而级数是等比级数，收敛， 8．解：，所以该幂级数收敛半径是， 而和时级数都收敛，所以收敛域为． 四、解：设为抛物线上任意一点， 则到点的距离为 构造拉格朗日函数 由拉格朗日乘数法，有， 解得，驻点只有一个 由问题的实际意义知最短距离是存在的，因此为所求的点．