工程数学试卷2011-2012学年.docVIP

上海应用技术学院 2011—2012学年第二学期 一．选择题（每小题3分，共15分） 1. z = 0是 的 （ ）. Ａ.. Ｂ.. Ｃ. Ｄ.. 2. ，则Res= （ ）.Ａ. 1. Ｂ.1/2. 　 Ｃ. 1/3. 　 Ｄ.. 3. = （ ）. Ａ. 0. Ｂ.i Ｃ.i. 　 Ｄ. . 4. 沿正向圆周的积分 = （ ）.Ａ. 2. Ｂ. . 　 Ｃ.. Ｄ.πi 5. 设z = a是的m级点 , 则z = a是的几级极点 （ ） Ａ.1. Ｂ. . Ｃ.m - 1. 　 Ｄ. . 二．填空题（每小题3分，共15分） = = 若，则z = 3. ，当a = 5 . 时在复平面上处处可导。 ，则 L = 三．计算（每题7分，共56分） （1），试求在复平面上何处可导？何处解析？ （2） （3），其中c为从1 - i 到0的任意一条曲线。 （4） （5）用留数定理计算 （6）给定调和函数 ，求调和函数v，使得成为一个解析函数。 （7）将复函数展成z的幂级数，并指出收敛域。 （8）设，求 四. 积分变换（每题4分，共8分） 1. 已知，求 L 2. 用拉普拉斯变换的微分性质证明 五. 证明题（6分） 若函数与在单连通区域D内处处解析，C是D内任意一条闭曲线。证明：若等式在闭曲线C上处处成立，那么该等式在闭曲线C内也处处成立。 答案 三．计算（每题7分，共49分） （1），试求在复平面上何处可导？何处解析？ 解： （2） 解： （3），其中c为从1 - i到0的任意一条曲线。 解： （4） 解： （5）用留数定理计算 解： （6）给定调和函数 ，求调和函数v，使复函数成为一个解析函数。 解： （7）将复函数展成z的幂级数，并指出收敛域。 解： 四. 积分变换（每题5分，共15分） 1. 已知，求 L 解： 2. 已知，求 L-1 解： （5分） 3. 用拉普拉斯变换的微分性质证明 证明：设（2分）。 由微分公式：（2分），得 五. 证明题（6分） 若函数与在单连通区域D内处处解析，C是D内任意一条闭曲线。证明：若等式在闭曲线C上处处成立，那么该等式在闭曲线C内也处处成立。 证明：在C内任取一点z0，由于与都在C内解析，有柯西积分公式（1分）得 （两式共2分） 又因为在闭曲线C上处处成立，所以有，因此得到（1分）。再由z0在C内的任意性，便得知等式在闭曲 线C内也处处成立。 3 第 页