§5·2 数学定理的学与教.pptVIP

数学定理的学与教 一、数学定理的特点 经过严格的数学推理论证的数学真命题称之为数学定理，对于数学定理可以看到有以下几个特点： * * 1．数学定理是揭示几个数学概念之间关系的语句。如三角形内角和等于180°，即揭示了三角形、内角、和、度数这几个概念间的关系。 2．数学概念之间的关系必须通过推理论证是正确的，这种关系用文字记录下来，才是定理。 3．数学定理揭示的概念与概念之间的关系是相当持久不变的关系。 公式、法则等也是数学定理，它们的学习过程基本一致，所以下面主要揭示定理学习的过程。 二、数学定理的学习方式 1．数学定理间的关系 定理学习的关键是获得概念与概念之间的关系，各种关系的获得又依赖于新定理与原有认知结构中的知识间的关系，关系不同，学习难易程度、新定理和原有认知结构作用的方式也不同。新定理和原有认知结构中的有关知识有三种关系：下位关系、上位关系和并列关系。 2．数学定理的学习方式 (1)下位学习。在下位学习中，新定理可以直接和原有数学认知结构中的有关知识发生联系，直接纳入到原有认知结构中，充实原有认知结构。在这种学习中，新定理是已有定理的特例，是一般到特殊的关系，所以新定理是直接从原有知识中分化出来的，这种定理学习比较容易。 （2）上位学习。上位学习是通过对已有知识的归纳、综合与概括，改进原来的认知结构为新的认知结构而完成的。新定理中的概念之间的关系是通过归纳、概括比它层次低的有关知识而获得的。所以，如果说下位学习中，获得概念间的关系是通过分化，那么上位学习中，依靠的是综合。上位学习要通过改造原有的认知结构才能完成。 （3）并列学习。并列学习中新定理与原有认知结构没有象上位学习和下位学习的那种直接关系，学习的关键是寻找新定理与原有认知结构中有关定理的联系，使它们在一定意义下能进行类比，即在并列学习中，新定理中概念间的关系是通过类比处于并列关系的“旧定理”中的概念间的关系获得的。 3．教学中需要说明的问题 （1）由于数学定理是揭示概念之间的逻辑关系的命题，因而它是建立在一种抽象之上的抽象，即它是以经过抽象了的概念形式之上的又一次抽象。 对于定理学习的思维形式主要建立在自反抽象之上，已经脱离了经验抽象过程。将学生已学过的概念及其关系为内容、对象来进行运作、协调、反省抽象，而得出新的形式。由此我们看到，数学学习是有层次之分的，初等的数学概念可以从现实原形中抽象出来，它们可以被认为是低层次的数学知识，而数学的高层次的概念或性质、定理，却要以低层次的数学知识为具体内容和研究对象来进行运算抽象，从而产生新的高层次的结果来。这时，前一层次的知识，尽管也很抽象，但相对后一层次，又是一种具体内容。 例如，从一堆石子中可以产生数，石子是现实原型。从数转化到字母符号，数是相对具体内容。由运算到函数，由函数到函数空间上的性质，前者都是相对具体的内容。因此，数学学习中的直观形象总可以从前一层次的内容中去寻找。在教学中我们应该注意不能因为数学定理本身的抽象性而向学生过分强调抽象规定，而应恰当地运用相对直观的东西来向学生表象其定理的抽象内容。例如“奇变偶不变，符号看象限”十个字，包括了五十四个三角诱导公式的变化规律。 （2）教师必须了解学生是否掌握了作为定理组成部分的概念，因为定理表示是概念与概念间的联系，所以学生学习定理的前提条件是懂得有关的概念。概念掌握得不好就不能学习好定理。 （3）要注意定理的条件。数学定理都是在一定的条件下成立的，教学实践表明，学生在应用定理时出错的主要原因就在于不注意定理的条件。因此，掌握定理适用的条件，是定理学习的一个重要组成部分。 （4）注意学习定理的语言表述。同概念学习一样，定理的语言也有三种表示形式，即文字语言、图形语言及符号语言。符号与图形是定理的形象表征，要让学生学习掌握三种语言，并能进行语言之间的转换，这也是定理学习的一个重要组成部分。 三、数学定理（公式、法则等）教学的组织过程 教师在定理教学中要根据学生学习定理的三个阶段：定理的获得、定理的证明、定理的应用来组织教学。定理教学设计环节各种各样，这里我们具体的设计环节是：为什么要学习某一定理（指出定理的产生背景）？——定理是如何产生的（体现定理的产生过程中的数学思想方法）？——定理是怎样证明的（体现证明中的数学思维过程）？——定理的应用与拓展。 1．为什么要学习某一定理？ 这一环节是根据定理的产生背景来设计教学，教师要设计有价值的生活实际问题或数学问题。增强学生对数学的情感，激发学生学习数学的动机，使学生感到学习数学和必要性。 例如：教师在三角形内角和定理教学中设计如下问题： 工人师傅将凹型零件（图1）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图2）的程序是：先将垂直的铣刀倾斜偏转35°（图3），然后将刀锋沿内壁EK、FP来回切削